Mostre que o módulo do campo magnético produzido no centro de uma espira retangular de comprimento L e largura W , percorrida por uma corrente i é dado por:

B = 2 μ 0 i π L 2 + W 2 1 / 2 L W

Passo 1

A espira tem mais ou menos essa cara aqui:

Pra resolver a nossa vida aqui, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que nos diz que:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Vamos fazer o seguinte então... vamos calcular um campo magnético para o fio vertical e um campo magnético para o fio horizontal. Feito isso, é só multiplicarmos por dois.

Passo 2

Vou começar pelo fio vertical de comprimento L . Vamos adotar a seguinte orientação:

Dessa forma:

r = y 2 + W 2 4

Agora precisamos resolver a parte do d l → × r ^ :

Vamos quebrar um pouco a cabeça aqui...

d l → × r ^ = d l   s e n 90 + θ ( - z ^ ) = d l s e n 90 cos ⁡ θ + s e n θ cos ⁡ 90 ( - z ^ )

d l → × r ^ = d l cos ⁡ θ - z ^

Ah! Como chamamos a direção vertical de y , ao invés de usar d l , vou usar d y .

Geometricamente falando:

cos ⁡ θ = W / 2 r = W 2 y 2 + W 2 4

Ou seja:

d l → × r ^ = W 2 y 2 + W 2 4   d y - z ^

Agora sim... montando a integral da Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

O módulo do campo vai ser então

B V = μ 0 i   W 8 π ∫ - L / 2   L / 2 1 y 2 + W 2 4 3 / 2   d y

B V = μ 0 i   W 8 π   y W 2 4 y 2 + W 2 4 - L / 2 L / 2

B V = μ 0 i 2 π W   L L 2 4 + W 2 4

Ajeitando isso aqui...

B V = μ 0 i π W   L L 2 + W 2

Passo 3

Então, agora nós faríamos para o fio horizontal... mas concorda que o raciocínio seria o mesmo? Trocando apenas o L pelo W ...

Seguindo o pensamento, para o fio horizontal:

B H = μ 0 i π L   W L 2 + W 2

Passo 4

Como se tratam de dois fios verticais e dois horizontais, o campo magnético resultante é dado por:

B = 2 B V + 2 B H

B = 2   μ 0 i π W   L L 2 + W 2 + 2 μ 0 i π L   W L 2 + W 2

Vamos colocar o que der em M.M.C. pra tentar organizar essa bagaça...

B = 2 μ 0 i π L 2 + W 2 L W + W L

B = 2 μ 0 i π L 2 + W 2 L 2 + W 2 L W

Por último...

B = 2 μ 0 i π L 2 + W 2 1 / 2 L W  

ACABOU!

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