Determine o módulo do campo magnético de um fio retilíneo de comprimento l , por onde passa uma corrente i , num ponto P situado a uma distância y do fio. Dê a resposta em função dos ângulos θ 1 e θ 2 formados entre a normal ao fio baixada do ponto P e pelas retas que unem o ponto P com as extremidades do fio considerado.

Passo 1

A figura abaixo representa a configuração dada no enunciado.

Vamos utilizar a lei de Biot-Savart para encontrar o campo magnético B . Temos que:

d B → = μ 0 i 4 π d l → × r ^ r 2 ,

d B = μ 0 i 4 π d x sen ⁡ α r 2 ,

já que o ângulo entre os vetores d l → e r ^ é igual a α .

Passo 2

Precisamos, agora encontrar uma relação de x com o ângulo α , já que os dois estão variando com x . Para isso, vamos olhar para o triângulo retângulo abaixo:

Da figura, a gente pode concluir que

sen ⁡ α = cos ⁡ θ .

E também que

tan ⁡ θ = x y → x = y tan ⁡ θ

d x = y sec 2 ⁡ θ d θ .

Agora, precisamos relacionar o ângulo θ com o raio r . Temos que:

cos ⁡ θ = y r → r = y cos ⁡ θ .

Passo 3

Vamos substituir todas as relações encontradas no Passo 2 na expressão de d B :

d B = μ 0 i 4 π d x sen ⁡ α r 2 ,

d B = μ 0 i 4 π y sec 2 ⁡ θ d θ cos ⁡ θ y cos ⁡ θ 2 ,

d B = μ 0 i 4 π y cos ⁡ θ d θ .

Passo 4

Agora, já podemos integrar a expressão do Passo 3 para encontrar o módulo do campo magnético B . Mas antes vamos checar os limites de integração. Se a gente olhar para as duas figuras, vemos que o ângulo θ varia, na verdade, de θ = - θ 1 até θ = θ 2 . Serão esses, então, os nossos limites. Vamos lá:

B = μ 0 i 4 π y ∫ - θ 1 θ 2 cos ⁡ θ d θ ,

B = μ 0 i 4 π y sen ⁡ θ 2 - sen ⁡ - θ 1 ,

B = μ 0 i 4 π y sen ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 1 .

Resposta

B = μ 0 i 4 π y sen ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 1 .

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