3 . Considere a espira condutora mostrada na figura abaixo. Ela é formada pela junção de dois trechos semicirculares de raios a e b > a com dois trechos retilíneos e conduz uma corrente estacionária de intensidade I no sentido indicado.

( b ) Deduza, em detalhe, uma expressão para o vetor campo magnético produzido pela espira

no ponto O , que corresponde ao centro comum dos trechos semicirculares.

Passo 1

Vem comigo que a gente vai detonar esse problema.

Ele quer que encontremos uma expressão para o campo magnético da espira no ponto O .

Podemos usar o princípio da superposição e dizer que o campo resultante é dado pela soma do campo produzido por uma semicircunferência da espira com o campo da outra, assim:

B → = B → a + B → b

Como essas duas partes são semicircunferências só mudando o raio a forma de encontrar o campo é a mesma, então podemos encontrar o campo para uma delas e o da outra vai ser exatamente igual, só mudando o raio.

Para encontrar esse campo então vamos usar a lei de Biot-Savart, dada por:

d B → = μ 0 I 4 π d l → × r ^ r 2

Onde d l → é o comprimento infinitesimal da espira e esse vetor é tangente a espira e r ^ é o vetor unitário que dá a direção esse comprimento ao ponto O .

Agora temos que ver como se comporta o produto vetorial d l → × r ^ em cada parte da espira.

Passo 2

Vamos fazer essa analise então e para isso vamos considerar a parte de raio b da espira.

Nas duas partes horizontais onde temos d l → e r ^ na mesma direção temos que esse produto vetorial vai ser zero, logo essas partes não contribuem para o campo.

Agora nas partes semicirculares temos que d l → é perpendicular r ^ logo esse produto vetorial nos dá:

d l → × r ^ = d l → r ^ ( - z ^ )

O sinal negativo indica que esse novo vetor aponta na direção negativa de z e lembrando que r ^ é um vetor unitário, temos:

d l → r ^ - z ^ = - d l   z ^

Jogando isso na lei de Biot-Savart para a espira de raio b , temos:

d B → b = - μ 0 I 4 π d l   z ^ b 2

Agora para achar o campo temos que integrar essa expressão.

Passo 3

Vamos a essa integração então, temos:

B → b = ∫ b d B → b = - ∫ b μ 0 I 4 π d l   z ^ b 2

= - μ 0 I z ^ 4 π b 2 ∫ b d l

Essa integral em d l representa o comprimento de toda a espira de raio b e o comprimento de um semicírculo é π r , assim:

B → b = - μ 0 I z ^ 4 π b 2 π b

⇒ B → b = - μ 0 I 4 b z ^

Como eu falei no passo 1 esse é o mesmo processo para o cálculo do campo da espira de raio a , só mudando o raio, assim:

B → a = - μ 0 I 4 a z ^

Passo 4

Com isso que encontramos temos que o campo total em O vai ser dado por:

B → = B → a + B → b

⇒ B → = - μ 0 I 4 a z ^ - μ 0 I 4 b z ^

= - μ 0 I 4 1 a + 1 b z ^

= - μ 0 I 4 a + b a b z ^

Então temos que:

B → = - μ 0 I ( a + b ) 4 a b z ^

Esse é o campo produzido pela espira no ponto O .

Resposta

B → = - μ 0 I ( a + b ) 4 a b z ^

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