Os dois fios retos, infinitos e paralelos ao eixo z têm raios a. Seus eixos, contidos no plano x z   e também paralelos ao eixo   z , estão afastados d e   b   ( a   <   b / 2 ) , conforme mostra a Figura. São percorridos por correntes iguais, uniformemente distribuídas nos seus interiores com densidade   J o   ( A / m 2 ) , no sentido + z . Determine o vetor campo magnético nos pontos:

  1. P 1 de coordenada ( 0 , d , 0 ) .
  2. P 2 de coordenada ( b 2 ,   - a 2 ,   0 ) .
  3. Em seguida, suponha que as correntes totais estejam concentradas nos respectivos eixos e determine:

  4. O vetor força (por unidade de comprimento) exercida pelo fio da esquerda sobre o fio da direita, de J 0 ,   a ,   b .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Vamos desenhar os campos B → 1   e   B → 2 para entendermos melhor:

Por simetria temos que as componentes verticais dos campos se cancelam e sobram apenas as componentes horizontais. Assim o campo resultante nesse ponto é:

B → P 1 = - 2 B 1 s e n θ x ^

O ângulo θ é o ângulo entre o eixo x e a distância l entre o ponto e o fio.

A distância l do ponto P 1 até os fios é:

l = d 2 + b 2 4

Então pela lei de Ampére temos:

2 π l B 1 = μ 0 I 1

E a corrente é:

I 1 = J 0 π a 2

B 1 = μ o J 0 a 2 2 d 2 + b 2 4

E o campo no ponto P 1 fica:

B → P 1 = - 2 B 1 s e n θ x ^

B → P 1 = - 2 μ o J 0 a 2 2 d 2 + b 2 4 . d d 2 + b 2 4 x ^

B → P 1 = μ 0 J 0 d a 2 b 2 4 + d 2 x ^

Passo 2

Letra (b):

Agora não temos mais simetria, então precisamos encontrar os dois campos. Vamos começar pelo desenho:

Vamos começar pelo campo B → 1 que é na direção vertical para cima. A distância dele até o ponto P 2 é b - a / 2 e pela lei de Ampére podemos encontrar o campo:

2 π b - a 2 B 1 = μ 0 I 1 = μ o J 0 π a 2

B 1 → = μ o J o a 2 2 ( b - a / 2 ) y ^

Para o campo B → 2 temos que a distância dele até o ponto é a / 2 e aplicando novamente a lei temos:

2 π a 2 B 1 = μ 0 I 1 = μ o J 0 π a 2

B 2 → = - μ o J o a 4 y ^

E por fim o campo total é a soma dos dois campos:

B P 2 → = μ o J o a 2 2 ( b - a / 2 ) y ^ - μ o J o a 4 y ^

B → P 2 = μ 0 J 0 a 4 5 a - 2 b 2 b - a y ^

Tranquilo? Vamos para o último item?

Passo 3

Letra (c):

Supondo as correntes totais concentradas nos respectivos eixos, tem-se:

F → 2 = B 1 I 2 L 2 ( - x ^ )

Agora vamos usar os resultados obtidos nos itens anteriores, usando a lei de Ampére e sabendo que agora a distância entre os fios é b :

F → 2 = - μ 0 I 1 2 π b I 2 L 2 x ^

F → 2 L 2 = μ 0 2 π b (   J 0 π a 2 ) x ^

F → 2 L 2 = μ 0 π J 0 2 a 4 2 b x ^

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a ) B → P 1 = μ 0 J 0 d a 2 b 2 4 + d 2 x ^

b ) B → P 2 = μ 0 J 0 a 4 5 a - 2 b 2 b - a y ^

c ) F → 2 L 2 = μ 0 π J 0 2 a 4 2 b x ^

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