Um anel fino de raio R , carregado com densidade linear de carga λ > 0 , gira em torno de um eixo z que passa pelo centro com uma velocidade angular ω → = ω k → , conforme a figura.

Atua na região um campo magnético externo homogêneo B → = B i → .

  1. Calcule a corrente i associada ao movimento do anel em função de λ , ω e R . Qual é o sentido da corrente?
  2. Calcule o vetor torque que o campo externo B → exerce sobre o anel.
  3. Calcule o campo magnético B → O produzido pelo anel no seu centro.

Passo 1

  1. Calcule a corrente i associada ao movimento do anel em função de λ , ω e R . Qual é o sentido da corrente?
  2. A definição de corrente é a seguinte:

    i = Δ q Δ t

    Em uma volta inteira, Δ q = 2 π R λ . Além disso, Δ t = 2 π / ω . Logo:

    i = 2 π R λ 2 π / ω

    i = λ R ω

    Como as cargas estão se movimentando devido à velocidade ω , a corrente tem o mesmo sentido de rotação do anel.

    Passo 2

  3. Calcule o vetor torque que o campo externo B → exerce sobre o anel.
  4. O torque magnético sobre uma espira é dado por:

    τ → = μ → × B →

    Onde μ → = I A → .

    O vetor A → é perpendicular ao plano da espira e nós encontramos o seu sentido usando a regra da mão direita no sentido da corrente. Assim:

    μ → = i π R 2   k ^

    Agora é só calcular o torque e ser feliz.

    τ → = i π R 2   k ^ × B i →

    τ → = i π R 2 B   j ^

    Substituindo o que achamos para a corrente no passo 1:

    i = λ R ω

    τ → = λ ω π R 3 B   j →

    Passo 3

  5. Calcule o campo magnético B → O produzido pelo anel no seu centro.

Nesse caso, vamos ter que usar a lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r ^ r 2

Como se trata de uma espira circular e estamos querendo calcular o campo magnético no seu centro, r ^ vai apontar na direção radial para dentro da espira e d l → da corrente na figura do enunciado.

d l → = R   d θ   θ ^

Portanto, o produto escalar d l → × r ^ apontará na direção k → .

Voltando para a fórmula:

B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r ^ r 2

B → = μ 0 i R 4 π R 2   ∫ 0 2 π d θ   k →

B → = μ 0 i 4 π R   2 π = μ 0 i 2 R   k →  

Onde i = λ ω R .

B → = μ 0 λ ω 2   k →

Resposta

  1. i = λ R ω ; A corrente tem o sentido do anel.

  2. τ → = λ ω π R 3 B   j →

B O → = μ 0 λ ω 2   k →

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