Um resistor circular de raio a contido no plano x y e centrado na origem é feito de duas metades com resistências R 1 e R 2 . O resistor está ligado a um par de fios semi-infinitos que se estendem ao longo do eixo x e que são percorridos por uma corrente I , conforme a figura.

(a) Calcule o valor das correntes I 1   e I 2 que atravessam respectivamente os resistores R 1 e R 2 em função de I , R 1 e R 2 . Indique o sentido de cada uma das correntes.

(b) Calcule o vetor campo magnético B → no centro do resistor circular.

Passo 1

Temos que os dois resistores estão associados em paralelo, ou seja, a diferença de potencial entre os dois é igual

V 1 = V 2

Usando a lei de Ohm

R 1 I 1 = R 2 I 2

Por outro lado, temos que a corrente I se divide entre as correntes I 1 e I 2

I = I 1 + I 2

Usando essas duas relações encontramos que

I 1 = I R 2 R 1 + R 2 I 2 = I R 1 R 1 + R 2

Passo 2

Para calcular o campo no centro do resistor temos que usar a lei de Biot-Savart

d B = μ 0 I 4 π d l → × r ^ r 2

lembrando que o vetor r ^ aponta da fonte de corrente até o ponto onde queremos calcular o campo magnético e que d l → é um pedaço de curva por onde passa o campo.

No caso dos dois fios semi-infinitos, o vetor r ^ está na direção x ^ , assim como a direção da corrente ( d l → ) . Dessa forma o produto vetorial da lei de Biot-Savart, d l → × r ^ , será nulo.

Passo 3

No caso do resistor R 1 , a corrente passa ao longo do círculo no sentido horário, o que significa que d l → = d l θ ^ , onde θ ^ é o vetor unitário tangente ao círculo.

Como estamos lidando em coordenadas polares, temos que o elemento de arco será dado por d l = a d θ

Já o vetor unitário r ^ , aponta de onde está a corrente para o ponto onde queremos calcular o campo. Nesse caso, esse vetor será dado por r ^ = - ρ ^ , ou seja, apontando para o centro do círculo.

Assim o produto vetorial será dado por

d l → × r ^ = a d θ θ ^ × - ρ ^ = - a d θ z ^

Outro jeito de visualizar a direção do campo magnético seria usar a regra da mão direita e vendo que o campo B → tem que apontar na direção que entra na folha (ou tablet, monitor, celular...), ou seja, - z ^ .

Agora podemos calcular o campo! Como a corrente está sobre o círculo de raio a , temos que r = a

B → 1 = ∫ μ 0 I 1 4 π d l → × r ^ r 2

B → 1 = μ 0 I 1 4 π a 2 ∫ 0 π - a d θ z ^

B → 1 = - μ 0 I 1 4 a z ^

Passo 4

No caso do resistor R 2 , a corrente passa ao longo do círculo no sentido anti-horário, o que significa que d l → = - d l θ ^ , onde θ ^ é o vetor unitário tangente ao círculo.

De novo teremos que r ^ = - ρ ^ , ou seja, apontando para o centro do círculo e d l = a d θ

Assim o produto vetorial será dado por

d l → × r ^ = - a d θ θ ^ × - ρ ^ = a d θ z ^

Outro jeito de visualizar a direção do campo magnético seria usar a regra da mão direita e vendo que o campo B → tem que apontar na direção que sai da folha (ou tablet, monitor, celular...), ou seja, z ^ .

B → 2 = ∫ μ 0 I 2 4 π d l → × r ^ r 2

B → 2 = μ 0 I 2 4 π a 2 ∫ 0 π a d θ z ^

B → 2 = μ 0 I 2 4 a z ^

Passo 5

O campo total será a soma dos campos

B → = B → 1 + B → 2

B → = μ 0 4 a I 2 - I 1 z ^

Em termos das resistências R 1 e R 2

B → = μ 0 4 a I R 1 R 1 + R 2 - I R 2 R 1 + R 2 z ^

B → = μ 0 I 4 a R 1 - R 2 R 1 + R 2 z ^

Resposta

  1. I 1 = I R 2 R 1 + R 2 I 2 = I R 1 R 1 + R 2
  2. B → = μ 0 I 4 a R 1 - R 2 R 1 + R 2 z ^

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