A figura mostra dois fios condutores de corrente. A corrente no fio 1 tem o sentido positivo do eixo y ( + j ^ ) e a corrente no fio 2 tem o sentido positivo do eixo x ( + i ^ ) . Com esta escolha de sistemas de coordenadas, o sentido positivo do eixo z é para fora do papel. As corrente nos fios 1 e 2 são iguais a i .

Utilizando explicitamente a lei de Biot-Savart:

a ) Calcule o campo magnético B → I I ( P 1 ) gerado no ponto P 1 pela corrente no fio 2 .

b ) Calcule o campo magnético B → I ( P 2 ) gerado no ponto P 2 pela corrente no fio 1

c ) Calcule o campo magnético total B → ( P 3 ) gerado no ponto P 3 pelas correntes dos fios 1 e 2 .

Passo 1

a )

Para determinar o campo magnético, vamos, assim como pede o enunciado, utilizar a lei de Biot-Savart, ela nos diz:

B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r ^ r 2

Podemos ver pela figura que o produto vetorial d l → × r ^ dá zero, pois os vetores são antiparalelos, temos portanto:

B → I I P 1 = 0

Lembre-se que r ^ é o vetor que vai do fio, até o ponto em que queremos saber o campo, e d l → é o vetor unitário da direção da corrente(fio).

Passo 2

b )

Aplicando a Lei de Biot-Savart, temos:

B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r ^ r 2

Para nossa configuração, temos:

d l → = d y j ^

Pela regra da mão direita, temos que o campo aponta na direção – k ^ , o campo fica assim:

B → = μ 0 4 π ∫ I d y . sen ⁡ θ r 2   ( - k ^ )

Onde θ é o angulo entre os vetores d l → e r ^ , da figura, podemos tirar as seguintes conclusões:

r = y 2 + L 2

sen ⁡ θ = L y 2 + L 2

Substituindo na equação, temos:

B → = μ 0 . I 4 π ∫ 0 L L . d y y 2 + L 2 3 2   ( - k ^ )

Resolvendo essa integral, temos:

B → = μ 0 . I 4 π . L 2 ( - k ^ )

O campo produzido em P 2 é:

B → I ( P 2 ) = μ 0 . I 4 π . L 2 ( - k ^ )

Calma, essa integral não foi tirada da cartola, ela está na capa da prova. Sempre que cair uma integral difícil, olha a capa da prova e procura ela lá!

Passo 3

c )

Para determinar o campo total no ponto P 3 , vamos calcular o campo gerado por cada fio separadamente, começando pelo fio 1 . Vamos usar o mesmo mimimi que usamos no itemanterior. Pela Lei de Biot-Savart, temos:

B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r ^ r 2

Para nossa configuração, temos:

d l → = d y j ^

Pela regra da mão direita, temos que o campo aponta na direção – k ^ , o campo fica assim:

B → = μ 0 4 π ∫ I d y . sen ⁡ θ r 2   ( - k ^ )

Onde θ é o angulo entre os vetores d l → e r ^ , da figura, podemos tirar as seguintes conclusões:

r = L 2 + y + L 2

sen ⁡ θ = L L 2 + y + L 2

Substituindo na equação, temos:

B → = μ 0 . I 4 π ∫ 0 L L . d y L 2 + y + L 2 3 2   ( - k ^ )

Resolvendo essa integral, temos:

B → = μ 0 . I . L 4 π . . L + y L 2 L + y 2 + L 2 1 2 0 L ( - k ^ )

B → = μ 0 . I . L 4 π . . 2 L 2 . 5 - 1 L 2 . 2   ( - k ^ )

A contribuição do fio 1 , será:

B → I = μ 0 . I 4 π . L . 2 5 - 1 2   ( - k ^ )

Vamos ao fio 2 !

Passo 4

Para achar a contribuição do fio 2 vamos fazer exatamente o que fizemos no item b . Se liga!

Aplicando a Lei de Biot-Savart, temos:

B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r ^ r 2

Para nossa configuração, temos:

d l → = d x i ^

Pela regra da mão direita, temos que o campo aponta na direção + k ^ , o campo fica assim:

B → = μ 0 4 π ∫ I d x . sen ⁡ θ r 2   ( + k ^ )

Onde θ é o angulo entre os vetores d l → e r ^ , da figura, podemos tirar as seguintes conclusões:

r = x 2 + L 2

sen ⁡ θ = L x 2 + L 2

Substituindo na equação, temos:

B → = μ 0 . I 4 π ∫ 0 L L . d y x 2 + L 2 3 2   ( + k ^ )

Resolvendo essa integral, temos:

B → = μ 0 . I 4 π . L 2 ( + k ^ )

A contribuição do fio 2 , será:

B → I I ( P 3 ) = μ 0 . I 4 π . L 2 ( + k ^ )

A soma das contribuições nos dá o campo total no ponto P 3

B → P 3 = B → I P 3 + B → I I ( P 3 )

B → P 3 = μ 0 . I 4 π . L . 2 5 - 1 2   - k ^ + μ 0 . I 4 π . L 2 ( + k ^ )

B → P 3 = μ 0 . I 2 . π . L   1 2 - 1 5 + k ^

Resposta

a ) B → I I P 1 = 0

b )   B → I ( P 2 ) = μ 0 . I 4 π . L 2 ( - k ^ )

c )   B → P 3 = μ 0 . I 2 . π . L   1 2 - 1 5 + k ^

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