A figura abaixo é composta por um fio, perpendicular ao plano da página, por onde passa uma corrente i 0 e por uma espira, no plano da página, com dois arcos de circunferência de raio a = 15,0   c m e b = 10,0   c m compreendidos entre um ângulo de 60 ° .

Pela espira passa uma corrente de 0,411   A e o centro da mesma coincide com o fio no ponto P .

Determine:

a ) O vetor momento de dipolo magnético da espira;

b ) O vetor campo magnético no ponto P ;

c ) O torque que o campo do fio produz sobre a espira;

Passo 1

a ) O vetor momento de dipolo magnético da espira;

Por definição, o momento de dipolo magnético é dado por:

μ → = I A →

Onde a direção e sentido do momento de dipolo magnético são determinados pelo sentido da corrente através da regra da mão direita. Nesse caso, com a corrente flui no sentido horário, o momento de dipolo magnético terá direção perpendicular ao plano da página, apontando para dentro da página, no sentido - z ^ .

μ → = i A - z ^

A única coisa que temos que fazer agora é calcular a área da espira.

Passo 2

Você consegue ver que a espira é como se fosse uma fatia de uma coroa circular?

Uma coroa circular completa tem área igual a:

A c o r o a = π a 2 - b 2

Assim, podemos calcular área da espira com uma regra de 3 simples:

A A c o r o a = 60 ° 360 ° = 1 6

A = A c o r o a 6

A = π a 2 - b 2 6

Onde a = 15,0   c m = 0,15   m e b = 10,0   c m = 0,1   m

A ≅ 6,54 × 10 - 3   m 2

Por fim, o momento de dipolo magnético é dado por:

μ → = 0,411 × 6,54 × 10 - 3 - z ^

μ → ≅ - 2,7 × 10 - 3   A m 2   z ^

Passo 3

b ) O vetor campo magnético no ponto P ;

O campo magnético total no ponto P será igual a

B → P = B → i 0 + B → i

Como o ponto P coincide com o fio de corrente i 0 , o campo magnético gerado por i 0 no ponto P será nulo.

O campo gerado pela espira é calculado através da Lei de Biot-Savart. Entretanto, a primeira coisa que temos que fazer aqui é dividir a espira em 4 partes.

A Lei de Biot Savart é dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Vamos analisar cada fio separadamente.

Passo 4

  • Fios 2 e 4
  • Vamos começar por eles porque eles tem uma particularidade. Vamos analisar os vetores d l → e r ^ .

    Em ambos os casos, d l → e r ^ são paralelos ou antiparalelos, isso significa que:

    d l → × r ^ = 0

    Logo:

    B → 2 = B → 4 = 0

  • Fio 1
  • No fio 1, os vetores d l → e r ^ possuem os seguintes sentidos:

    Assim, voltando à Lei de Biot Savart, teremos :

    B → 1 = μ 0 i 4 π ∫ corpo   d l r 2 - z ^

    Onde d l = r d θ , r = a e 0 < θ < π / 3 ( 60 ° = π / 3   r a d ) .

    B → 1 = μ 0 i 4 π ∫ 0 π / 3 a d θ a 2 - z ^

    B → 1 = μ 0 i 4 π a ∫ 0 π / 3 d θ - z ^

    B → 1 = μ 0 i 4 π a π 3 - z ^

    B → 1 = μ 0 i 12 a - z ^

  • Fio 3

No fio 3, os vetores d l → e r ^ possuem os seguintes sentidos:

No final das contas, o trabalho é muito parecido com o que tivemos no Fio 1. As únicas diferenças são que agora o campo magnético aponta na direção + z ^ e r = b , logo:

B → 3 = μ 0 i 12 b z ^

Portanto, o campo magnético resultante será:

B → = B → 1 + B → 2 + B → 3 + B → 4

B → = μ 0 i 12   1 b - 1 a z ^

Substituindo os valores:

B → = 4 π × 10 - 7 × 0,411 12   1 0,1 - 1 0,15

B → ≅ 0,143   μ T   z ^

Passo 5

c ) O torque que o campo do fio produz sobre a espira;

O torque magnético sobre uma espira é dado por:

τ → = μ → × B →

O campo magnético gerado por i 0 sobre a espira é dado por:

B → i 0 = μ 0 i 0 2 π r

O problema aqui é que o raio varia, logo, o campo magnético também varia. Assim, para achar o torque total, vamos fazer o seguinte... visto que μ → e B → i 0 são sempre perpendiculares:

d τ = B i 0   d μ = B i 0 i   d A = B i 0 i π r 3   d r

Onde d A = π 3 r   d r .

d τ = π i 3   μ 0 i 0 2 π r   r   d r

d τ = μ 0 i 0 i 6   d r

τ = μ 0 i 0 i 6   a - b

Pra sabermos em que sentido estará o torque, na dúvida, basta verificar para onde estarão as forças sobre os fios 2 e 4.

Pela regra da mão direita, no fio 2, F → 2 apontará no sentido + z ^ e, no fio 4, F → 4 apontará no sentido - z ^ . Como resultado, a espira terá uma rotação no sentido + y ^ . Logo:

τ → = μ 0 i 0 i 6   a - b + y ^

Como o problema não nos forneceu o valor de i 0 , só podemos escrever o torque resultante como:

τ → ≅ 0,043 i 0 + y ^

Resposta

a )

μ → ≅ - 2,7 × 10 - 3   A m 2   z ^

b )

B → ≅ 0,143   μ T   z ^

c )

τ → ≅ 0,043 i 0 + y ^

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