O circuito da figura é formado por dois arcos de círculo de raios R e 2 R e dois fios retilíneos de comprimento R . Cada arco forma um setor de ângulo igual a π . O circuito é percorrido por uma corrente de intensidade I no sentido indicado. Calcule, justificando:

a ) As contribuições B → 1 e B → 2 dos segmentos retilíneos, e

b ) As contribuições B → 3   e B → 4 dos arcos de raio R e 2 R

para o campo magnético (módulo, direção e sentido) na origem O dos eixos X Y Z , que corresponde ao centro dos dois arcos de círculo.

Considere agora que o arco de raio R gire de 180 ° em torno do eixo X   ( X   = eixo de rotação).

c ) Calcule os novos campos magnéticos B → 1 ; B → 2 ; B → 3 e B → 4

Enfim, o circuito da figura acima é girado de um ângulo θ , conforme indica a Figura abaixo:

d ) Calcule os novos campos magnéticos B → 1 ; B → 2 ; B → 3 e B → 4 .

Passo 1

a ) As contribuições B → 1 e B → 2 dos segmentos retilíneos.

Pra facilitar a nossa vida aqui, vamos usar a Lei de Biot-Savart, ela nos diz que:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Temos que tomar cuidado com o sentido dos campos magnéticos para saber se eles se somam, ou não, no final dos cálculos.

Na dúvida, vamos adotar o seguinte referencial.

Passo 2

Para os segmentos retilíneos 1 e 2, vamos começar dando uma olhada na direção do produto vetorial.

É importante lembrar que o vetor unitário r ^ aponta sempre na direção do ponto onde queremos calcular o campo magnético (no caso, o ponto O ). E o vetor d l → aponta sempre no sentido da corrente.

Como você pode ver, os dois vetores d l → e r ^ ou são paralelos, ou são antiparalelos... de qualquer forma, o produto vetorial entre os dois vai ser nulo... ou seja:

d l → × r ^ = 0

Assim:

B 1 → = B 2 → = 0

Passo 3

b ) As contribuições B → 3 e B → 4 dos arcos de raio R e 2 R

Arco maior

Novamente, vamos começar dando uma olhada na direção do produto vetorial.

Se você calcular com calma, pode ver que o ângulo θ é sempre 90 º : d l → × r ^ = d l - z ^

Substituindo, tiramos - z ^ fora da integral:

B 3 → = - μ 0 I 4 π z ^ ∫ arco 3   d l r 2

Além disso, temos que nesse caso o r é constante:

r = 2 R → r 2 = 4 R 2

B 3 → = - μ 0 I 16 π R 2 z ^ ∫ arco 3   d l

Enquanto a integral de d l é o comprimento do arco, ou seja, o comprimento de meio círculo de raio 2 R

B 3 → = - μ 0 I 16 π R 2 z ^ 1 2 2 π 2 R = - μ 0 I 16 π R 2 z ^ 2 π R

B 3 → = - μ 0 I 8 R z ^

Passo 4

Arco menor

O raciocínio é absolutamente o mesmo.

Calculando a direção do produto vetorial:

Se você calcular com calma, pode ver que o ângulo θ é sempre 90 º : d l → × r ^ = d l - z ^

Daí, seguindo o mesmo caminho do Passo 3, só que agora para o arco de raio R , vamos encontrar o seguinte:

B 3 → = - μ 0 I 4 π z ^ ∫ arco 4   d l r 2 = - μ 0 I 4 π R 2 z ^ ∫ arco 4   d l

B 3 → = - μ 0 I 4 π R 2 z ^ ( π R )

B 4 → = - μ 0 I 4 R z ^

Passo 5

c ) Calcule os novos campos magnéticos B → 1 ; B → 2 ; B → 3 e B → 4

Bom, o que aconteceu aqui é que agora o circuito vai ter essa cara aqui:

Beleza, nos fios 1, 2 e 3 não vai mudar nada em relação aos vetores r ^ e d l → . Logo:

B → 1 = B → 2 = 0

B 3 → = - μ 0 I 8 R z ^

Em relação ao arco 4, o que muda é a direção do campo magnético gerado por ele... dá uma olhada:

A diferença aqui então é que o campo magnético aponta agora no sentido + z ^ . Como a geometria do problema permanece a mesma, o módulo de B → 4 permanece o mesmo.

B 4 → = μ 0 I 4 R z ^

Passo 6

d ) Calcule os novos campos magnéticos B → 1 ; B → 2 ; B → 3 e B → 4 .

Como aqui só estamos rotacionando em torno do ponto O , os vetores de campo magnéticos permanecem os mesmos do primeiro caso. Já que a geometria do problema é a mesma e os vetores vão continuar apontando nos mesmos sentidos.

Logo:

B → 1 = B → 2 = 0

B 3 → = - μ 0 I 8 R z ^

B 4 → = - μ 0 I 4 R z ^

Resposta

a )

B → 1 = B → 2 = 0

b )

B 3 → = - μ 0 I 8 R z ^

B 4 → = - μ 0 I 4 R z ^

c )

B → 1 = B → 2 = 0

B 3 → = - μ 0 I 8 R z ^

B 4 → = μ 0 I 4 R z ^

d )

B → 1 = B → 2 = 0

B 3 → = - μ 0 I 8 R z ^

B 4 → = - μ 0 I 4 R z ^

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