A figura mostra três circuitos formados por dois segmentos radiais e dois arcos de circunferência concêntricos, um de raio r e outro de raio R > r . A corrente é a mesma nos três circuitos e o ângulos entre os dois segmentos radiais é o mesmo. Colocando os circuitos na ordem do módulo decrescente do campo magnético no centro dos arcos (marcado na figura por um ponto), obtemos

a) B a > B c > B b .

b) B b > B a > B c .

c) B b > B c > B a .

d) B c > B a > B b .

e) nenhuma das respostas está correta.

Passo 1

Fala pessoal, bora fazer mais uma questão sobre campo magnético?

Para resolver esse problema temos que saber qual é campo magnético produzido por um arco circular no centro da espira. A expressão é a seguinte:

B = μ 0 i 4 π R ⋅ θ

Nessa expressão, θ é o ângulo em radianos e o campo para fora da tela (regra da mão direita). Note que se tivermos o círculo fechado ( θ = 2 π ), achamos a conhecida fórmula da espira circular:

B = μ 0 i 2 R

Para deduzir essa fórmula temos que usar a lei de Biot-Savart e isso é feito nossos resumos, dá uma olhadinha lá!

Passo 2

Vamos olhar para a figura (a). Nela, temos uma espira com arco θ e raio r e outra com raio R e arco 2 π - θ . Assim, o campo total será

B a = μ 0 i 4 π r θ + μ 0 i 4 π R 2 π - θ = μ 0 i 4 π θ r + 2 π - θ R = μ 0 i 4 π θ r - θ R + 2 π R

É importante ressaltar que os fios na direção radial não contribuem com o campo no centro da espira pois a linha de ação deles passa pelo centro da espira. Além disso, note que eu somei os campos pois o sentido da corrente é o mesmo nos dois, de modo que podemos somá-los.

Já na figura (b), o sentido da corrente em arco circular é diferente. Com isso, temos que subtrair uma contribuição pela outra. Note também que agora os dois arcos têm o mesmo ângulo θ :

B b = μ 0 i 4 π r θ - μ 0 i 4 π R θ = μ 0 i 4 π   θ r - θ R

Comparando a situação (a) com a (b), vemos que na primeira aparece um fator extra 2 π / R somando, de modo que

B a > B b

Passo 3

Vamos olhar agora para a figura (c). A primeira coisa que notamos é que as duas correntes estão no mesmo sentido e os campos vão se somar! Agora temos um raio r por um ângulo 2 π - θ e um raio R por um ângulo θ , de modo que

B c = μ 0 i 4 π R θ + μ 0 i 4 π r 2 π - θ = μ 0 i 4 π θ R - θ r + 2 π r

Será que conseguimos achar uma relação que vale para qualquer θ , r e R ?

Vamos chutar por exemplo r = 1   m e R = 10   m . Daí,

B a   ~   9 θ 10 + π 5 ,               B b   ~   9 θ 10 ,                 B c   ~   2 π - 9 θ 10

Vemos que de fato B a > B b . No passo 2 provamos que isso é verdade sempre. Mas olha com carinho para B c . Para θ pequeno tipo θ = π / 9 , temos que

B b   ~ π 10                     e               B c   ~   2 π - π 10 = 19 π 10

Portanto, nesse caso, B c > B b . Todavia, se escolhemos um ângulo maior, tipo θ = 11 π / 9 :

B b   ~ 11 π 10                 e                 B c   ~   2 π - 11 π 10 = 9 π 10

Logo, nesse caso B b > B c . Com isso vemos que dependendo da escolha do ângulo a ordem de quem é maior que quem pode mudar. A única garantia que temos sempre é B a > B b .

Desta forma, não temos muita escolha senão marcar alternativa E...

Resposta

Alternativa E.

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