Considere a figura a seguir, em que um arco de meia circunferência de raio R porta uma corrente i no sentido horário e a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro do arco. ( μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A )

(a) Usando explicitamente a lei de Biot-Savart, calcule o vetor campo magnético B (módulo, direção e sentido) produzido pelo arco na origem.

Sabemos que um fio retilíneo infinito que transporta uma corrente I produz um campo magnético, a uma distância d do fio, cujo módulo é dado por B F I O = μ 0 I 2 π d .

(b) Considere que o campo produzido na origem pelo arco da figura seja dado por B → A R C O = 1 × 10 - 4 T ( z ^ ) .

Deseja-se posicionar um fio retilíneo infinito paralelo ao eixo y de modo a anular o campo resultante na origem. Se o fio retilíneo porta uma corrente de I = 30 A no sentido - y , calcule a coordenada x (incluindo o sinal) onde o fio deve ser posicionado.

(c) Partindo agora de uma situação em que o campo resultante é nulo na origem, encontre os dois únicos modos de posicionar um novo fio retilíneo de maneira a que o novo campo resultante possua somente componente - x . (Ou seja, encontre ao longo de qual direção e sentido deve estar a corrente do fio, e em que região do espaço ele deve ser posicionado).

Passo 1

(a)

A Lei de Biot-Savart é dada por:

B → = ∫ μ 0 i 4 π d s × r ^ r 2

Colocando as constantes pra fora da integral, e fazendo o produto vetorial:

B → = μ 0 i 4 π   ∫ d s r 2   - z ^

Fazendo a substituição d s = r d θ e colocando o intervalo de integração para θ :

B → = μ 0 i 4 π   ∫ 0 π r d θ r 2   ( - z ^ )

Como r é constante:

B → = μ 0 i 4 π r   ∫ 0 π d θ - z ^

Logo:

B → = - μ 0 i 4 r   z ^

Passo 2

(b) Queremos que: B F I O = - B A R C O . Assim, em módulo:

μ 0 I 2 π d = 1 × 10 - 4

Substituindo os valores:

4 π × 10 - 7 30 2 π d = 1 × 10 - 4

E então:

d = 6 × 10 - 2 m = 6 c m

Como o fio porta corrente no sentido - y e queremos que seu campo possua sentido + z , o fio deve ser posicionado ao longo coordenada x = - 6 c m .

Passo 3

(c) Na verdade há não apenas dois modos, mas infinitos modos de conseguirmos um campo no sentido - x na origem: o fio retilíneo pode ser colocado em qualquer orientação no plano y - z , contanto que não passe pela própria origem e contanto também que o sentido de sua corrente seja compatível com a regra da mão direita. Listamos as quatro possibilidades mais visualizáveis:

MODO 1: fio cortando o eixo y em pontos tais que y < 0 e com corrente no sentido + z ;

MODO 2: fio cortando o eixo y em pontos tais que y > 0 e com corrente no sentido - z ;

MODO 3: fio cortando o eixo z em pontos tais que z > 0 e com corrente no sentido + y ;

MODO 4: fio cortando o eixo z em pontos tais que z < 0 e com corrente no sentido - y .

Resposta

a) B → = - μ 0 i 4 r   z ^

b) d = 6 c m

c) 4 modos visualizáveis:

MODO 1: fio cortando o eixo y em pontos tais que y < 0 e com corrente no sentido + z ;

MODO 2: fio cortando o eixo y em pontos tais que y > 0 e com corrente no sentido - z ;

MODO 3: fio cortando o eixo z em pontos tais que z > 0 e com corrente no sentido + y ;

MODO 4: fio cortando o eixo z em pontos tais que z < 0 e com corrente no sentido - y .

Exercícios de Livros Relacionados

14- Uma partícula com carga 6.40 × 10 - 19   C se desloca ao long
15- Um elétron no ponto A da Figura 27.46 possui velocidade v 0 igual
16- Repita o Exercício 27.15 para o caso no qual a partícula é um prót
Dois fios longos estão no plano x y e conduzem correntes no sentido po