Considere um fio de comprimento 2 a por onde passa uma corrente I colocado ao longo do eixo x , conforme a figura.

a ) Usando a lei de Biot-Savart, calcule o campo magnético num ponto P   do eixo y .

b ) Calcule o campo magnético no limite em que a → ∞ .

Passo 1

a ) Usando a lei de Biot-Savart, calcule o campo magnético num ponto P   do eixo y .

A Lei de Biot-Savart é dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Como r ^ = r → / r , podemos reescrever a Lei de Biot-Savart como:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r → r 3

Pra começar, vamos analisar graficamente a situação:

Daqui podemos tirar algumas coisas:

r = x 2 + y 2

r → = - x i → + y j →

d l → = d x i →

- a ≤ x ≤ a

Substituindo isso expressão de B → , teremos:

B → = μ 0 4 π ∫ - a a I d x i → × - x i → + y j → x 2 + y 2 3 2

Agora vamos organizar esse cara:

B → = μ 0 I 4 π ∫ - a a y   d x x 2 + y 2 3 2 k →

Pra finalizar, termos apenas que calcular a integral.

Passo 2

Essa pode ser uma integral bem chata de calcular, mas como é o tipo de integral que aparece bastante nesse tipo de problema, é bem provável que a resposta dela esteja no formulário da prova, então, na dúvida, dê uma olhada lá.

De qualquer forma, integrando a expressão:

B → = μ 0 I y 4 π ∫ - a a d x x 2 + y 2 3 2 k →

Teremos:

B → = μ 0 I y 4 π x y 2 x 2 + y 2 - a a k →

Agora é só organizar esse cara:

B → = μ 0 I 4 π y x x 2 + y 2 - a a k →

B → = μ 0 I 4 π y a a 2 + y 2 + a a 2 + y 2 k →

B → = μ 0 I 4 π y 2 a a 2 + y 2 k →

Finalmente:

B → = μ 0 I 2 π y a a 2 + y 2 k →

Passo 3

b ) Calcule o campo magnético no limite em que a → ∞ .

Beleza, o nosso único trabalho aqui é pegar a expressão de B → e calcular o limite dela quando a → ∞ , beleza?

lim a → ∞ ⁡ B → = μ 0 I 2 π y a a 2 + y 2 k →

Vamos reorganizar esse cara:

lim a → ∞ ⁡ B → = μ 0 I 2 π y 1 1 a a 2 + y 2 k →

lim a → ∞ ⁡ B → = μ 0 I 2 π y 1 a 2 a 2 + y 2 a 2 k →

lim a → ∞ ⁡ B → = μ 0 I 2 π y 1 1 + y 2 a 2 k →

Agora, sim. Substituindo a por , teremos:

lim a → ∞ ⁡ B → = μ 0 I 2 π y 1 1 + 0 k →

Finalmente:

lim a → ∞ ⁡ B → = μ 0 I 2 π y k →

Resposta

a )

B → = μ 0 I 2 π y a a 2 + y 2 k →

b )

lim a → ∞ ⁡ B → = μ 0 I 2 π y k →

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