Um fio retilíneo de comprimento L é percorrido por uma corrente I como mostrado na figura ao lado (o sentido da corrente está indicado no desenho). O fio repousa sobre o eixo z e suas extremidades estão nas coordenadas x ,   y ,   z = ( 0,0 ,   ± L / 2 ) .

a ) A partir da lei de Biot-Savart, encontre o vetor campo magnético no ponto P mostrado na figura cuja coordenada é ( 0 , d , 0 ) . (Considere μ 0 = 4 π   .   10 - 7   T   m / A )

b ) Partindo do resultado do item anterior, encontre o campo magnético para um fio muito longo ( L ≫ d ) .

Considere agora dois fios retilíneos muitos longos paralelos percorridos por correntes I 1 e   I 2 saindo e entrando no papel, respectivamente.

c ) A partir do campo magnético encontrado no item ( b ) , encontre o campo magnético resultante no ponto A mostrado na figura.

Passo 1

a )

Para determinar o campo magnético no ponto P , gerado pelo fio, vamos começar calculando o campo gerado por um pedaço infinitesimal do fio, vamos começar relembrando da Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ I . d l → × r ^ r 2

Vamos pegar um comprimento infinitesimal do fio!

Analisando a figura, temos d l , o comprimento infinitesimal do fio, r , o vetor que aponta na direção do ponto P e θ o ângulo entre os vetores d l e r . Agora sim, podemos dar uma melhorada na Lei de Biot-Savart, nos livrando do produto vetorial, repare que d l → aponta na direção z , temos então:

B → = μ 0 4 π ∫ I . sen ⁡ θ d z r 2 ( - x ^ )

Para determinar r , devemos pensar, que para cada valor de z , temos que r será a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são d e z , ou seja, para r , temos:

r = z 2 + d 2

beleza, agora falta só determinar sen ⁡ θ , nós já sabemos que o sin ⁡ θ = sen ⁡ ( π - θ ) , e no nosso caso, é mais simples trabalhar com sen ⁡ ( π - θ ) pois esse é o ângulo entre z e r , ou seja:

sen ⁡ θ = sen ⁡ π - θ = d r = d z 2 + d 2

Beleza, agora é só substituir e calcular o campo, simbora!!

B → = μ 0 4 π ∫ I . sen ⁡ θ d z r 2 ( - x ^ )

B → = μ 0 . I 4 π ∫ d   z 2 + d 2 3 2 d z ( - x ^ )

Como queremos integrar ao longo de todo fio, temos:

B → = μ 0 . I 4 π ∫ - L 2 L 2 d   z 2 + d 2 3 2 d z ( - x ^ )

O mais lindo de tudo é que essa integral feiosa é dada na capa da prova(Uhuuulll)!

B → = μ 0 . I . d 4 π . z d 2 z 2 + d 2 1 2   - L 2 L 2 ( - x ^ )

B → = μ 0 . I . L 4 π . d . 1 L 2 4 + d 2 ( - x ^ )

Passo 2

b )

Para um fio muito longo, ele nos diz que L ≫ d , isso quer dizer que 1 ≫ d L . Colocando L 2 4 em evidência dentro da raiz do resultado do campo que obtivemos no item a , temos:

B = μ 0 . I . L 4 π . d . 1 L 2 4 1 + 4 d 2 L 2

B = μ 0 . I . L . 2 4 π . d . L . 1 1 + 4 d 2 L 2

Repare que temos dentro da raiz a razão d L , como ela é muito menor que 1 , temos:

B = μ 0 . I 2 π . d . 1 1

Ou seja, para um fio longo, temos:

B = μ 0 . I 2 π . d

Passo 3

c )

Agora que temos o resultado do item b , fica fácil de resolver esse item! Pela figura, temos que o fio 1 está a uma distância d = b - y A do ponto A . Além disso, usando a regra da mão direita, temos que no ponto A o campo aponta no sentido positivo do eixo z , ou seja, a corrente no ponto devido à este fio é:

B → = μ 0 . I 2 π . d ( z ^ )

B → = μ 0 . I 1 2 π . ( b - y A ) ( z ^ )

Para o segundo fio, temos que a distância até o ponto A é d = b + y A , além disso, usando a regra da mão direita, temos que no ponto A o campo aponta no sentido positivo do eixo z , ou seja, a corrente no ponto devido à este fio é:

B → = μ 0 . I 2 π . d ( z ^ )

B → = μ 0 . I 2 2 π . ( b + y A ) ( z ^ )

Somando os dois campos, temos:

B → = μ 0 . I 1 2 π . ( b - y A ) + μ 0 . I 2 2 π . ( b + y A ) ( z ^ )

Resposta

a ) B → = μ 0 . I . L 4 π . d . 1 L 2 4 + d 2 ( - x ^ )

b ) B = μ 0 . I 2 π . d

c ) B → = μ 0 . I 1 2 π . ( b - y A ) + μ 0 . I 2 2 π . ( b + y A ) ( z ^ )

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