Um circuito é formado por duas semicircunferências de raios a e b , como é mostrado na figura abaixo.

O vetor campo magnético B → produzido pelas correntes do fio no ponto P é dado por:

a B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b - y ^

b B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^

c B → = μ 0 I 4 π 1 a - 1 b z ^

d B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b y ^

e B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b - z ^

Passo 1

Em problemas como esse, quem pode nos ajudar é a lei de Biot-Savart, dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Onde o vetor d l → tem a mesma direção e sentido da corrente:

Então vamos começar dividindo esse problema em 4 partes e calcular o campo magnético gerado por cada segmento dessa espira.

No final das contas:

B → = B → 1 + B → 2 + B → 3 + B → 4

Passo 2

Vamos começar pelos fios retilíneos 1 e 3. Neles vamos ver como se comportam os vetores d l → e r ^ .

Em ambos os fios retilíneos, os vetores d l → e r ^ são paralelos ou antiparalelos, logo:

d l → × r ^ = 0

B → 1 = B → 3 = 0

Passo 3

Agora vamos olhar para o arco menor, ok?

Daqui podemos tirar que:

r = a

d l → × r ^ = d l z ^ = a   d θ z ^

0 ≤ θ ≤ π

Logo:

B → 2 = μ 0 I 4 π ∫ 0 π a   d θ a 2 z ^

B → 2 = μ 0 I 4 π a ∫ 0 π d θ z ^

B → 2 = μ 0 I 4 π a θ 0 π z ^

B → 2 = μ 0 I π 4 π a z ^

B → 2 = μ 0 I 4 a z ^

Passo 4

Por último, vamos para o arco maior:

Daqui podemos tirar que:

r = b

d l → × r ^ = d l - z ^ = b d θ - z ^

0 ≤ θ ≤ π

Logo:

B → 4 = μ 0 I 4 π ∫ 0 π b   d θ b 2 - z ^

B → 4 = μ 0 I 4 π b ∫ 0 π d θ - z ^

B → 4 = μ 0 I 4 π b θ 0 π - z ^

B → 4 = μ 0 I π 4 π b - z ^

B → 4 = - μ 0 I 4 b z ^

Finalmente:

B → = B → 1 + B → 2 + B → 3 + B → 4

B → = 0 + μ 0 I 4 a z ^ + 0 - μ 0 I 4 b z ^

B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^

Resposta

b B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^

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