a) Um fio de comprimento infinito e raio desprezível transporta uma corrente i . Utilize a lei de Biot-Savart e calcule o campo magnético a uma distância r do fio.

b) Um fio, de raio desprezível, e que transporta uma corrente i é configurado na forma de uma espira circular de raio a . Utilize a lei de Biot-Savart e calcule o campo magnético no centro da espira.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse problema vamos usar a lei de Biot-Savart para deduzir o campo de um fio infinito e de uma espira circular. O legal é que já sabemos os resultados que devemos encontrar. Para o fio infinito,

B = μ 0 i 2 π r

Já para a espira circular de raio a , no centro, o campo será

B = μ 0 i 2 a

Se você quiser ver essas deduções com todo detalhe do mundo, aconselho você dar uma espiada nos resumos do RespondeAí, aqui vou fazer de forma mais resumida senão a resolução fica muito grande...

Passo 2

Para o fio infinito, vamos considerar primeiro um fio de comprimento 2 L e calcular o campo a uma distância r do seu centro:

A lei de Biot-Savart estabelece que o campo de um pedacinho d l do fio em uma posição r → ' é dado por

d B → = μ 0   i 4 π   d l → × r → ' r ' 3

Nessa expressão, r ' é a distância do elemento de corrente até a posição onde vamos calcular o campo.

Olhe com atenção para a figura: note que o eixo z aponta para fora da tela! Considere o elemento de comprimento d l = d y   y ^ do fio posicionado a uma distância y da origem. Isso significa que a corrente está subindo no fio, de baixo para cima. Vamos calcular o campo devido a essa contribuição.

Observe que

r ' 2 = r 2 + y 2 → r ' = r 2 + y 2 1 / 2

Além disso, o vetor r → ' pode ser decomposto em

r → ' = r '   cos ⁡ θ   x ^ - s e n   θ   y ^

Com isso, o produto vetorial da

d l → × r → ' = d y   y ^ × r '   cos ⁡ θ   x ^ - s e n   θ   y ^ = - r ' cos ⁡ θ   d y   z ^

Isso significa que

d B → = - μ 0 i 4 π ⋅ r ' cos ⁡ θ r ' 3   d y   z ^

Note que esse campo aponta para dentro da tela e isso vai acontecer para qualquer porção do fio que escolhermos, incluindo a parte de baixo do fio. Portanto, vemos que o campo resultante apontará para dentro da tela (o que concorda com a regra da mão direita que conhecemos).

Passo 3

Note também que

cos ⁡ θ = r r '

Assim,

d B → = - μ 0 i 4 π ⋅ r r ' 3   d y   z ^

Substituindo a expressão de r ' :

d B → = - μ 0 i 4 π ⋅ r r 2 + y 2 3 / 2   d y   z ^

Daí, para achar o campo total, basta integrar de - L até L :

B → = - μ 0 i r 4 π z ^ ∫ - L L d y r 2 + y 2 3 2 = - μ 0 i r 2 π   z ^ ∫ 0 L d y r 2 + y 2 3 2

Essa integral pode ser calculada com uma substituição

y = r tan ⁡ t → r 2 + y 2 = r 2 1 + tan 2 ⁡ t = r 2 sec 2 ⁡ t

d y = r sec 2 ⁡ t   d t

Logo,

∫ d y r 2 + y 2 3 / 2 = ∫ r sec 2 ⁡ t   d t r 3 sec 3 ⁡ t = 1 r 2 ∫ cos ⁡ t   d t = s e n   t r 2

Precisamos escrever o s e n   t em função de y e r :

tan ⁡ t = y r → s e n   t = y r 2 + y 2 1 / 2

Assim,

∫ d y r 2 + y 2 3 / 2 = y r 2   r 2 + y 2 1 / 2

Portanto,

B → = - μ 0 i r 2 π   z ^   y r 2   r 2 + y 2 1 2 0 L

Fazendo as contas:

B → = - μ 0 i 2 π r L r 2 + L 2   z ^

Como estamos olhando apenas para o módulo:

B = μ 0 i 2 π r ⋅ L r 2 + L 2

Para o fio infinito, tomamos o limite L → ∞ :

L r 2 + L 2 = L L 1 + r L 2 = 1 1 + r L 2 → 1

Assim, para o fio infinito, o campo é

B = μ 0 i 2 π r

Essa é a boa e velha expressão que conhecemos!

Passo 4

Agora vamos tentar calcular o campo da espira circular.

Vamos considerar a porção do fio de comprimento d l = a   d θ pintada em laranja. O produto vetorial d l → × r → ' vai apontar na direção - z ^ :

d l → × r → ' = - a 2   d θ   z ^

Lembre-se que nesse caso, r ' = a . Assim,

d B → = - μ 0 i 4 π ⋅ a 2   d θ a 3 = - μ 0 i 4 π a   d θ   z ^

Integrando sobre o círculo todo:

B → = - μ 0 i 4 π a z ^ ∫ 0 2 π d θ

Olhando apenas para o módulo e vendo que o resultado da integral é 2 π , achamos

B = μ 0 i 2 a

Esse resultado bate com o esperado! Assim, fechamos o problema 😉.

Resposta

B = μ 0 i 2 π r

B = μ 0 i 2 a

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