Considere um fio infinito formado por dois trechos retilíneos semi-infinitos e perpendiculares entre si, ligados por um arco de circunferência de raio R (um quarto de circunferência). Por esse fio flui uma corrente estacionária I , como mostrado na Figura 1 . Utilize o sistema de eixos cartesianos desenhado na Figura 1 . Com essa escolha, um dos trechos retilı́neos é paralelo ao eixo O y , enquanto o outro é paralelo ao eixo O x , e o arco de circunferência tem centro na origem O .

(a) Determine a contribuição B → a ao campo magnético na origem O do sistema de coordenadas indicado na Figura 1 , devido ao trecho do fio correspondente ao arco de circunferência. Indique o módulo, a direção e o sentido de B → a .

(b) Determine a contribuição B → h ao campo magnético na origem O do sistema de coordenadas indicado na Figura 1 , devido ao trecho horizontal do fio. Indique o módulo, direção e sentido de B → h .

(c) Determine o campo magnético B (módulo, direção e sentido) produzido pelo fio completo, na origem O do sistema de coordenadas.

Passo 1

Para calcular o campo gerado pelo arco de circunferência precisamos usar a lei de Biot-Savart

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2  

Nesse caso demos que a distância de um elemento de comprimento até a origem é constante e igual ao raio do arco, r = R .

O vetor r ^ é o vetor unitário apontando do elemento d l do arco até a origem (onde queremos calcular o campo) e o vetor d l → é tangente ao arco indo na direção da corrente, conforme a figura

Como os vetores r ^ e d l → são perpendiculares entre si e os dois estão contidos no plano x y o seu produto vetorial será na direção z ^ . Pela regra da mão direita, sabemos que o campo magnético tem que apontar na direção positiva do eixo z .

d l → × r ^ = d l → r ^ s e n 90 ° z ^ = d l z ^

*Uma justificativa mais matemática é que d l → = d l θ ^ e r ^ = - ρ ^ , então d l → × r ^ = d l θ ^ × - ρ ^ = d l z ^ ;)

Só que esse elemento d l é o elemento de arco de um círculo de raio R , então

d l = R d θ → d l → × r ^ = R d θ z ^

Assim o nosso campo magnético é dado por

d B → = μ 0 I 4 π R d θ z ^ R 2 → B → = μ 0 I 4 π R z ^ ∫ π 3 π 2 d θ = μ 0 I 4 π R z ^ π 2

B → a r c o = μ 0 I 8 R z ^  

Passo 2

Agora vamos calcular o campo gerado por um fio semi-infinito. Para isso usaremos de novo Biot-Savart.

Dessa vez o nosso elemento de fio d l está localizado em ( x ,   - R ) . A distância desse ponto até a origem é

r = x 2 + R 2

E o vetor unitário r ^ é dado por

r ^ = - x r x ^ + R r y ^

E o vetor d l → , eu defini no sentido da corrente

d l → = d x x ^

Assim o produto vetorial fica

d l → × r ^ = d x x ^ × - x r x ^ + R r y ^

d l → × r ^ = d x R r z ^

E a lei de Biot-Savart fica

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2 = μ 0 I 4 π d x R r 1 r 2   z ^

d B → = μ 0 I R 4 π z ^ d x r 3 → B → = μ 0 I R 4 π z ^ ∫ 0 ∞ d x r 3

B → = μ 0 I R 4 π z ^ ∫ 0 ∞ d x x 2 + R 2 3 / 2

Possivelmente, tem no seu formulário que

∫ d x x 2 + a 2 3 / 2 = 1 a 2 x x 2 + a 2 + c o n s t .

Assim a nossa integral fica

∫ 0 ∞ d x x 2 + R 2 3 / 2 = 1 R 2 x x 2 + R 2 0 ∞ = 1 R 2 lim y → ∞ ⁡ x x 2 + R 2 = 1 R 2

Assim

B → = μ 0 I R 4 π 1 R 2 z ^

B → f i o s e m i - i n f i n i t o = μ 0 I 4 π R z ^

Passo 3

Agora temos simplesmente que o campo total gerado pelo fio é dado por

B → t o t a l = 2 B → f i o s e m i - i n f i n i t o + B → a r c o

Já que os dois fios semi-infinitos gerarão o mesmo campo.

B → t o t a l = 2 μ 0 I 4 π R z ^ + μ 0 I 8 R z ^  

B → t o t a l = μ 0 I 2 R 1 π + 1 4 z ^

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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