Um anel circular, de raio R , situado no plano X Y , com centro na origem, transporta uma corrente elétrica estacionária de intensidade I e sentido indicado, como mostrado no lado esquerdo (a) da figura abaixo.

  1. Utilizando a lei de Biot-Savart, determine o campo magnético (módulo, direção e sentido) produzido pelo anel na origem

Considere, agora, uma coroa circular condutora, de raios interno a e externo b , também situada no plano X Y e com centro na origem, transportando uma corrente elétrica estacionária de intensidade I , uniformemente distribuída através de sua superfície, como mostrado no lado direito (b) da mesma figura.

b) Determine o campo magnético (módulo, direção e sentido) produzido pela coroa na origem. Sugestão: imagine a coroa como vários anéis concêntricos de raio s e largura infinitesimal d s , através dos quais passa uma corrente de intensidade d I = I d s b - a   .

Passo 1

a) Considere um elemento de comprimento infinitesimal  d l → do anel, orientado no sentido da corrente, como mostrado na figura abaixo. Esse elemento é sempre tangente ao anel em todos os seus pontos.

Pela lei de Biot-Savart, sua contribuição para o campo magnético em um ponto qualquer do espaço é dada por:

d B → = μ 0 I 4 π   d l →     ×     r ^ r 2   ,

onde r é a distância do elemento ao ponto e  r ^ é o unitário da direção que aponta do elemento para o ponto. Pela figura, podemos ver que, na origem, r = R para todos os pontos do anel e que

d l →   ×   r ^ = d l →   r ^ sen ⁡ 90 ˚ z ^     ⇒     d l →   ×   r ^ = d l   z ^   ,

pois o ângulo entre esses dois vetores vale 90 ˚ . Assim,

d B → = μ 0 I 4 π   d l   z ^ R 2     .

Para obter o campo total, basta integrar sobre o anel. Obtemos, então:

B → = ∫ d B → = μ 0 I 4 π R 2   ∫ d l   z ^   ,

que vai resultar em

B → = μ 0 I 2 R   z ^   .

Passo 2

b) Vamos seguir a sugestão do enunciado e vamos dividir a coroa em anéis infinitesimais de raio s variável e espessura infinitesimal d s . A corrente que passa por cada um desses anéis é dada por:

d I = I d s b - a   ,

uma vez que a corrente está uniformemente distribuída sobre a área da coroa. Pelo resultado do item anterior, a contribuição de um anel infinitesimal como este para o campo magnético no centro da coroa é dada por:

d B → = μ 0 I 2 s   z ^ = μ 0 I 2 b - a d s s     z ^   .

O campo total pode ser obtido integrando sobre os anéis que compõem a coroa. Assim:

B → = ∫ d B → = μ 0 I 2 b - a   z ^     ∫ a b d s s     ,

que resulta em

B → = μ 0 I 2 b - a ln ⁡ b a   z ^     .

Resposta

  1. B → = μ 0 I 2 R   z ^     ;
  2. B → = μ 0 I 2 b - a ln ⁡ b a   z ^   .

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