PARTE 1:

A figura abaixo mostra duas espiras planas: a espira 1 é circular, de raio R ; a espira 2 é formada por duas semicircunferências, uma de raio R e outra de raio 2 R , interligadas por dois segmentos retilíneos.

Correntes de mesma intensidade I circulam pelas duas espiras.

a Seja B 1 o módulo do campo magnético gerado pela espira 1 em seu centro, e B 2 o módulo do campo magnético gerado pela espira 2 em seu centro (ponto C). Considerando que as espiras estão muito afastadas uma da outra, calcule a razão B 2 / B 1 .

Passo 1

a Seja B 1 o módulo do campo magnético gerado pela espira 1 em seu centro, e B 2 o módulo do campo magnético gerado pela espira 2 em seu centro (ponto C). Considerando que as espiras estão muito afastadas uma da outra, calcule a razão B 2 / B 1 .

Espira 1:

O campo magnético gerado pela espira a uma distância z do centro da mesma, sobre o seu eixo de simetria, é dado por:

B z = μ 0 I R 2 2 R 2 + z 2 3 2

No centro da espira, z = 0 , logo:

B 1 = μ 0 I R 2 2 R 3 = μ 0 I 2 R

Passo 2

Espira 2:

Para calcular o campo gerado por essa espira, vamos usar a Lei de Biot-Savart, dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ f i o   I d l → × r ^ r 2

Para isso, vamos dividir a espira em 4 segmentos: dois segmentos retilíneos e duas semicircunferências. Para cada segmento, vamos posicionar os vetores d l → (sempre no tangente ao fio e com o mesmo sentido da corrente) e r ^ (sempre apontando para o ponto onde estamos calculando o campo magnético).

Para os segmentos retilíneos, d l → e r ^ são paralelos, logo, d l → × r ^ = 0 . Assim, esses segmentos não geram campo magnético no centro da espira.

Em ambos os segmentos semicirculares, d l → × r ^ aponta para o dentro do plano da página, assim, o ponto C eles irão se somar, já que possuem o mesmo sentido. Dessa forma:

B 2 = μ 0 I 4 π ∫ d l R 2 + μ 0 I 4 π ∫ d l 2 R 2

Para a semicircunferência menor, d l = R d θ , e para a semicircunferência maior d l = 2 R d θ , onde 0 ≤ θ ≤ π . Dessa forma:

B 2 = μ 0 I 4 π ∫ 0 π R d θ R 2 + μ 0 I 4 π ∫ 0 π 2 R d θ 2 R 2

B 2 = μ 0 I 4 π R ∫ 0 π d θ + μ 0 I 8 π R ∫ 0 π d θ

B 2 = μ 0 I 4 π R π + μ 0 I 8 π R π

B 2 = μ 0 I 4 R + μ 0 I 8 R

B 2 = 3 μ 0 I 8 R

Passo 3

Finalmente, a razão B 2 / B 1 será:

B 2 B 1 = 3 μ 0 I 8 R μ 0 I 2 R = 3 μ 0 I 8 R 2 R μ 0 I

B 2 B 1 = 3 4

Resposta

a

B 2 B 1 = 3 4

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