Uma espira condutora circular de raio R é posicionada sobre o plano X Y de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem, como mostrado no lado esquerdo da figura abaixo. Ela transporta uma corrente estacionária de intensidade I , no sentido indicado.

  1. Utilizando a lei de Biot-Savart, determine o campo magnético produzido pela espira (módulo, direção e sentido) em um ponto P = ( 0,0 , z ) localizado sobre o eixo Z .
  2. Uma segunda espira, idêntica à primeira, é posicionada paralelamente ao plano X Y com centro no ponto ( 0,0 , R ) . Ela transporta uma corrente estacionária de mesma intensidade I , mas em sentido oposto ao da primeira, como indicado no lado direito da figura. Determine o campo magnético total (módulo, direção e sentido) produzido pelas duas espiras no mesmo ponto P .
  3. Determine o campo magnético total quando z = R / 2 .

Passo 1

d l da figura abaixo e a corrente I que passa nele.

O veto  d B → do campo magnético que ela produz é dado por

d B → = μ 0 I 4 π d l →   ×   r ^ r 2 ,

em que  d l → é um vetor que é sempre tangente à curva e tem a mesma direção e sentido da corrente,  r ^ é o vetor unitário que sempre aponta de  d l → para o ponto onde queremos calcular  d B → e r á distância da espira até esse ponto.

Outra coisa muito importante aqui é direção e sentido do campo magnético, que é dado pelo produto vetorial  d l →   ×   r ^ , o que significa que  d B → é sempre perpendicular tanto a  d l → quanto à  r ^ , ou seja, é perpendicular ao plano formado por estes dois vetores.

O módulo desse produto vetorial é

d l →   ×   r ^ = d l → r ^ sen ⁡ α = d l → sen ⁡ α   ,

sendo que α é o ângulo entre esses dois vetores e usamos que r ^ = 1 .

Passo 2

a) Passando isso que revisamos para o caso do nosso problema, os elementos  d l → e d l → ' , que estão na figura acima, produzem campos de mesma intensidade, já que estão à mesma distância de P , mas as direções e sentidos deles são diferentes.

Tanto  d B → quanto  d B → ' fazem um ângulo θ com o eixo z . Portanto, para encontrarmos o campo magnético resultante   d B → R , basta fazermos:

d B → R = d B → cos ⁡ θ     ⇒     d B R → = d B → cos ⁡ θ z ^   ,

em que

cos ⁡ θ = R r = R R 2 + z 2   ,

e

d B → = μ 0 I 4 π d l r 2     ⇒     d B → = μ 0 I 4 π d l z 2 + R 2   ,

uma vez que  r ^ é perpendicular ao vetor  d l → ( α = 90 ˚ ), que faz com que d l →   ×   r ^ = d l sin ⁡ 90 ˚ = d l .

Agora, precisamos integrar isso:

B → R = μ 0 I 4 π ∫ R d l z 2 + R 2 3 2   ( + z ^ )   .

Nessa integral, o denominador é um número constante, por isso podemos tirá-lo da integral, o que vai dar o seguinte campo magnético resultante:

B → 1 = μ 0 I 4 π R z 2 + R 2 3 2   ∫ d l + z ^ = μ 0 I R 4 π z 2 + R 2 3 2   2 π R + z ^   ,

que simplificada dá:

B → 1 = μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 + z ^   .

Passo 3

b) Como já temos a expressão para  B → 1 para uma espira percorrida por I num ponto P arbitrário, só temos que tomar cuidado com a direção do campo resultante produzido pela corrente I da espira superior e também com a distância z ’ do plano dela até o ponto P .

Nesse caso, para a corrente de cima, a direção e sentido de seu campo resultante estarão ao longo de - z ^ e P está a uma distância z ' = R - z do plano da espira superior. Substituindo isso na expressão do final do Passo 2, vamos ter:

B → 2 = μ 0 I R 2 2 ( R - z ) 2 + R 2 3 2 - z ^   .

Portanto, o campo magnético quando tivermos as duas espiras será:

B → R = B → 1 + B → 2 = μ 0 I R 2 2   1 z 2 + R 2 3 2 - 1 R - z 2 + R 2 3 2 + z ^ .

Passo 4

c) Quando z = R 2 , o primeiro termo entre parênteses é igual ao segundo, o que vai dar

B → R = 0   .

Resposta

  1. B → 1 = μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 + z ^   ;
  2. B → R = B → 1 + B → 2 = μ 0 I R 2 2   1 z 2 + R 2 3 2 - 1 R - z 2 + R 2 3 2 + z ^   ;
  3. B → R = 0   .

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