Um circuito no plano x y formado por uma semicircunferência de raio a com centro de curvatura na origem e um trecho reto ao longo do eixo x é preenchido por uma corrente I no sentido indicado na figura.

Dado: O elemento de linha infinitesimal de semicircunferência é d l → = - a sen ⁡ θ   d θ i ^ + a cos ⁡ θ   d θ   j ^ , onde o ângulo θ é medido a partir do eixo x .

  1. Calcule o vetor campo magnético produzido pelo trecho reto no ponto P = 0,0 , z .
  2. Calcule o vetor campo magnético produzido pelo trecho de semicircunferência no ponto P = 0,0 , z .

Passo 1

  1. Calcule o vetor campo magnético produzido pelo trecho reto no ponto P = 0,0 , z .
  2. Aqui não tem muito erro, nesse tipo de problema, a primeira coisa que vem à cabeça é... isso, isso mesmo, Biot-Savart:

    B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r ^ r 2

    Só que podemos escrever esse vetor unitário r ^ da seguinte forma:

    r ^ = r → r

    Logo:

    B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r → r 3

    Agora só temos que definir quem é d l → e r → .

    Para o d l → é importante sempre seguir o sentido da corrente, logo:

    d l → = d x   i ^

    Olhando a figura aqui em cima, podemos escrever r → como:

    r → = - x   i ^ + z   k ^

    r = x 2 + z 2 1 / 2

    Logo:

    d l → × r → = - z d x   j ^

    Agora é só voltar para a lei de Biot-Savart e ser feliz.

    Passo 2

    B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r → r 3 =

    B → = μ 0 I 4 π   ∫ - a a - z d x x 2 + z 2 3 2   j ^

    Se você nunca fez essa integral antes, ela parece ser escrota. Você deve imaginar isso porque, na verdade, ela é escrota mesmo.

    Não é uma boa quebrarmos a cabeça com ela e fazer esse troço ficar gigante, até porque ela provavelmente vai ser dada no formulário da prova, caso você tenha que resolvê-la. Mas, na dúvida, eu vou te dar o caminho certo pra resolver essa integral, tranquilo?

    Ela é resolvida fazendo uma substituição trigonométrica, chamando x = z tan ⁡ θ , e d x = x sec 2 ⁡ θ   d θ . Faz isso, e resolve a integral, a única coisa que você precisa saber além disso é que 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ .

    Bom, o que você vai encontrar é isso aqui:

    B → = - μ 0 I 2 π a z a 2 + z 2   j ^

    Passo 3

  3. Calcule o vetor campo magnético produzido pelo trecho de semicircunferência no ponto P = 0,0 , z .

B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r → r 3

O esquema aqui é um pouco diferente de antes, mas não de preocupa se começar a parecer feio, ok?

Vamos começar definindo quem é d l → e r → .

d l → = d x   i ^ + d y   j ^ = a - sen ⁡ θ   i ^ + cos ⁡ θ   j ^ d θ

0 ≤ θ ≤ π

r → = - x   i ^ - y   j ^ + z   k ^ = - a cos ⁡ θ i ^ - a sen ⁡ θ j ^ + z   k ^

r = a 2 + z 2 1 / 2

Portando:

d l → × r → = a d θ - sen ⁡ θ   i ^ + cos ⁡ θ   j ^ × - a cos ⁡ θ i ^ - a sen ⁡ θ j ^ + z   k ^  

Agora podemos voltar para Biot-Savart:

B → = μ 0 I 4 π ∫ 0 π a z cos ⁡ θ i ^ + a z sen ⁡ θ j ^ + a 2 k ^ a 2 + z 2 3 / 2 d θ

B → = μ 0 I 4 π   a z sen ⁡ θ i ^ - a z cos ⁡ θ j ^ + θ a 2   k ^ a 2 + z 2 3 / 2 0 π

B → = μ 0 I 4 π   2 a z   j ^ + π a 2 k ^ a 2 + z 2 3 / 2

Sim, ficou feio, ficou escroto... mas tá certo!

Resposta

  1. B → = - μ 0 I 2 π a z a 2 + z 2   j ^

B → = μ 0 I 4 π   2 a z   j ^ + π a 2 k ^ a 2 + z 2 3 / 2

Exercícios de Livros Relacionados

14- Uma partícula com carga 6.40 × 10 - 19C se desloca ao longo de uma órbita circular com raio igual a 4.68m m , em virtude da força oriunda de um campo magnético de módulo 1.65T , cuja direção é per
15- Um elétron no ponto A da Figura 27.46 possui velocidade v 0 igual a 1.41 × 10 6m / s . Determine: ( a ) o módulo, a direção e o sentido do campo magnético que obriga o elétron a descrever uma órbi
16- Repita o Exercício 27.15 para o caso no qual a partícula é um próton em vez de um elétron.
Dois fios longos estão no plano x y e conduzem correntes no sentido positivo do eixo x . O fio 1 está em y = 10,0c m e conduz uma corrente de 6,00A ; o fio 2 está em y = 5,00c m e conduz uma corrente
Na figura 29-63, cinco fios paralelos longos no plano x y estão separados por uma distância d = 8,00c m , têm 10,0m de comprimento e conduzem correntes iguais de 3,00A para fora do papel. Em termos do