Considere uma espira quadrada de lado 2 a percorrida por uma corrente estacionária I no sentido anti-horário, e sujeita a um campo magnético externo estacionário e uniforme B → 0 = B 0 x ^ . A espira se encontra no plano X Y , conforme a figura.

a Calcule as forças F → 1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e F → 2 sobre o lado vertical à direita do quadrado, exercidas pelo campo magnético externo.

b Determine o momento de dipolo magnético μ → associado à espira e calcule o vetor torque τ → que o campo externo B → 0 exerce sobre a mesma.

c Determine o campo magnético B → produzido pela espira no seu centro P = 0 ,   a ,   0 .

Passo 1

a Calcule as forças F → 1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e F → 2 sobre o lado vertical à direita do quadrado, exercidas pelo campo magnético externo.

A força magnética sobre um fio condutor é dada por:

F → = ∫ c o r p o   I   d l → × B →

No caso de um condutor retilíneo, podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma:

F → = I L → × B →

Onde L → tem a mesma direção e sentido da corrente, e o módulo é igual ao tamanho do condutor. Logo:

L → 1 = 2 a - x ^ → L → 1 = - 2 a x ^

L → 2 = 2 a y ^

Assim, sabendo que o campo magnético é dado por B → = B → 0 = B 0 x ^ , teremos:

F → 1 = I - 2 a x ^ × B 0 x ^ → F → 1 = - 2 I a B 0 x ^ × x ^

F → 1 = 0 →

F → 2 = I 2 a y ^ × B 0 x ^ → F → 2 = 2 I a B 0 y ^ × x ^

F → 2 = - 2 I a B 0 z ^

Passo 2

b Determine o momento de dipolo magnético μ → associado à espira e calcule o vetor torque τ → que o campo externo B → 0 exerce sobre a mesma.

O momento de dipolo magnético é dado por:

μ → = I A →

Onde o módulo de A → é igual à área da espira, e a direção e sentido do vetor são dados a partir do sentido da corrente. Nesse caso, como a corrente está no sentido anti-horário, utilizando a regra da mão direita, o vetor A → será dado por:

A → = 2 a 2 z ^

A → = 4 a 2 z ^

Assim, o momento de dipolo magnético será:

μ → = 4 I a 2 z ^

Passo 3

O torque magnético é dado por:

τ → = μ → × B → 0

Portanto:

τ → = 4 I a 2 z ^ × B 0 x ^

τ → = 4 I a 2 B 0 z ^ × x ^

τ → = 4 I a 2 B 0 y ^

Passo 4

c Determine o campo magnético B → produzido pela espira no seu centro P = 0 ,   a ,   0 .

Por conta da simetria do problema, os campos magnéticos produzidos por cada lado da espira deverão ser iguais. Como o campo magnético da espira é a soma vetorial dos campos magnéticos produzidos por cada lado, portanto:

B → e s p i r a = 4 B → l a d o

Ok, então, vamos começar calculando o campo magnético gerado por apenas um dos lados.

Nesse caso, vamos utilizar o lado horizontal inferior da espira, que está sobre o eixo x .

O campo magnético pode ser calculado através da lei de Biot-Savart, dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r ^ r 2

Então vamos analisar graficamente a situação aqui e ver o que podemos tirar disso, beleza?

Daqui podemos tirar que:

d l → = d x x ^

- a ≤ x ≤ a

r = x 2 + a 2

r ^ = - cos ⁡ θ x ^ + sen ⁡ θ y ^

Onde:

cos ⁡ θ = x r = x x 2 + a 2

sen ⁡ θ = a r = a x 2 + a 2

Logo:

r ^ = - x x 2 + a 2 x ^ + a x 2 + a 2 y ^

r ^ = 1 x 2 + a 2 - x x ^ + a y ^

Agora podemos partir pra brincadeira.

Passo 5

B → l a d o = μ 0 I 4 π ∫ - a a d x x ^ × - x x ^ + a y ^ x 2 + a 2 3 2

Como x ^ × x ^ = 0 e x ^ × y ^ = z ^ , teremos:

B → l a d o = μ 0 I 4 π ∫ - a a a d x x 2 + a 2 3 2 z ^

B → l a d o = μ 0 I a 4 π ∫ - a a d x x 2 + a 2 3 2 z ^

Esse é o tipo de integral que você olha e dá aquela bugada na cabeça, mas como é uma integral que aparece muitas vezes nesse tipo de problema, a resposta dela costuma estar no formulário.

Então, nesses casos, vá no formulário e dê uma olhada pra ver se a resposta está por lá. No caso dessa prova, a resposta da integral está no formulário, e é dada por:

B → l a d o = μ 0 I a 4 π x a 2 x 2 + a 2 - a a z ^

Substituindo os valores, teremos:

B → l a d o = μ 0 I 4 π a a a 2 + a 2 - - a - a 2 + a 2 z ^

Agora é só ir arrumando esse cara na base da calma:

B → l a d o = μ 0 I 4 π a a a 2 + a 2 + a a 2 + a 2 z ^

B → l a d o = μ 0 I 4 π a a 2 a 2 + a 2 a 2 z ^

B → l a d o = μ 0 I 4 π a 2 a 2 a 2 z ^

B → l a d o = μ 0 I 4 π a 2 a a 2 z ^

B → l a d o = μ 0 I 4 π a 2 2 z ^

B → l a d o = 2 μ 0 I 4 π a z ^

Conforme falamos lá em cima:

B → e s p i r a = 4 B → l a d o

Logo:

B → e s p = 4 2 μ 0 I 4 π a z ^

B → e s p = 2 μ 0 I π a z ^

Resposta

a

F → 1 = 0

F → 2 = - 2 I a B 0 z ^

b

μ → = 4 I a 2 z ^

τ → = 4 I a 2 B 0 y ^

c

B → e s p = 2 μ 0 I π a z ^

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