Considere a espira da figura formada pelo arco B C de circunferência centrado em O e raio O B = a , pelo segmento A B de comprimento a / 2 sobre o eixo x e pelo segmento A C paralelo ao eixo y . A espira é percorrida por uma corrente de intensidade I com sentido mostrado na figura (anti-horário).

Nestas condições, utilizando explicitamente a Lei de Biot-Savart e justificando as suas afirmações, determine:

(a) O campo magnético B 1 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao segmento A C .

(b) O campo magnético B 2 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao segmento A B .

(c) O campo magnético B 3 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao arco B C .

(d) O campo magnético total B T (módulo, direção e sentido) na origem O .

Passo 1

(a) O campo magnético B 1 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao segmento A C .

Bom, vamos lá. Para começar, vamos relembrar o que a lei de Biot-Savart nos diz. Temos:

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2 ,

onde o vetor d l ^ aponta na direção da corrente e r ^ aponta para onde queremos medir o campo, respectivamente. Além disso, r é a distância até o ponto no qual o campo será medido. Beleza? Vamos adiante.

Passo 2

No item (a), queremos medir o campo B 1 → na origem gerado pelo segmento A C . Vamos olhar para a figurinha abaixo.

Bem, da figura, podemos concluir que a distância r à origem O de um elemento de corrente infinitesimal é dada por:

r = a / 2 2 + y 2   .

Vamos calcular também o seno de θ , para quando fizermos o produto vetorial d l → × r ^ . Temos:

sen ⁡ θ = a 2 r = a 2 a / 2 2 + y 2 .

Pra finalizar, vemos que d l é, na verdade, d y .

Passo 3

Agora podemos reescrever a equação de Biot-Savart com as informações que a gente obteve acima. Saca só:

d B 1 = μ 0 4 π I   d y sen ⁡ θ   r 2 ,

d B 1 = μ 0 I 4 π a 2 a / 2 2 + y 2 3 / 2   d y .

O sentido e direção de B 1 → podem ser obtidos pela regra da mão direita! Bem, como d l → aponta para baixo e r ^ tem a direção da reta tracejada da figura, apontando para a origem, B 1 → irá apontar para dentro da página, ou seja, no sentido negativo do eixo z .

Passo 4

Por fim, para obter B 1 , integramos a equação acima. Lembrando que y varia de 0 até 3 2 a , que é o comprimento de A C . Temos:

B 1 = μ 0 I 8 π ∫ 0 3 a / 2 a a / 2 2 + y 2 3 / 2   d y .

Agora precisamos resolver essa integral! Para isso, fazemos a seguinte substituição de variáveis:

y = a / 2 tan ⁡ ϕ → d y = a / 2 sec 2 ⁡ ϕ   d ϕ   .

Para y = 0 , ϕ = 0 e para y = 3 a / 2 , ϕ = π / 3 .

A integral resultante vai ser:

B 1 = μ 0 I 8 π ∫ 0 π 3 a 2 2 sec 2 ⁡ ϕ a 2 2 + a 2 tan ⁡ ϕ 2 3 2 d ϕ ,

B 1 = μ 0 I 8 π ∫ 0 π 3 a 2 2 sec 2 ⁡ ϕ a 2 3 1 + tan ⁡ ϕ 2 3 2 d ϕ ,

B 1 = μ 0 I 8 π ∫ 0 π 3 sec 2 ⁡ ϕ a 4 sec 2 ⁡ ϕ 3 2 d ϕ ,

B 1 = μ 0 I 2 π a ∫ 0 π 3 1 sec ⁡ ϕ d ϕ ,

B 1 = μ 0 I 2 π a ∫ 0 π 3 cos ⁡ ϕ d ϕ ,

B 1 = μ 0 I 2 π a sen ⁡ ϕ 0 π / 3 = 3 4 μ 0 I π a .

Passo 5

(b) O campo magnético B 2 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao segmento A B .

Agora, vamos para o item (b). Nesse caso, os vetores d l → e r ^ tem a mesma direção. Isso significa que d l → × r ^ = 0 , pois o seno do ângulo entre eles é nulo. Isso significa que B 2 → = 0 → .

Passo 6

(c) O campo magnético B 3 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao arco B C .

Agora só falta calcular a contribuição do arco B C , certo? Estamos quase lá! Nesse caso, a distância r à origem é sempre constante e igual a r = a . Além disso, o ângulo entre d l → e r ^ é reto. Pela regra da mão direita, o campo B 3 → na origem aponta para fora, no sentido positivo de z .

Temos:

d B 3 = μ 0 4 π I d l a 2 ,

B 3 = μ 0 I 4 π a 2 ∫ d l ,

B 3 = μ 0 I 4 π a 2 B C - = μ 0 I 4 π a 2 π 3 a = μ 0 I 12 a .

Passo 7

(d) O campo magnético total B T (módulo, direção e sentido) na origem O .

O campo magnético total na origem será:

B T → = B 3 - B 1 k ^ ,

B T → = μ 0 I 12 a - 3 4 μ 0 I π a k ^ ,

B T → = μ 0 I 12 π a π - 3 3 k ^ .

Resposta

(a) B 1 → = - 3 4 μ 0 I π a k ^ .

(b) B 2 → = 0 → .

(c) B 3 → = μ 0 I 12 a k ^ .

(d) B T → = μ 0 I 12 π a π - 3 3 k ^ .

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