A Fig. 1 mostra um segmento retilíneo de comprimento L de um fio que conduz corrente i no sentido + z . O centro do segmento está na origem. Um ponto P está sobre o eixo y à distância d da origem.

a ) Mostre, utilizando explicitamente, a lei de Biot-Savart, que o vetor campo magnético em P devido a todo o segmento é dado por:

B → = μ 0 i 4 π d L L 2 4 + d 2 - x ^

Considere agora a Fig. 2 que mostra um ponto P à distância d de um fio infinito com corrente i . O módulo do campo magnético devido ao fio infinito no ponto P é dado por B 0 = μ 0 i 2 π d . A figura mostra também um segmento retilíneo com corrente i S antiparalela a i . O segmento tem comprimento L = d e está simetricamente disposto em relação ao ponto P e dista d / 2 dele.

b ) Quanto deve valer a corrente i S para que o módulo do campo total em P seja 3 B 0 ?

Considere agora a Fig. 3 que mostra uma espira quadrada de lado d que conduz uma corrente de valor i . A espira é centrada em P .

c ) Utilizando o resultado do item ( a ) , calcule o módulo do campo magnético em P em função de μ 0 , d e i . A corrente i deve circular na espira no sentido horário ou anti-horário para que o campo em P tenha sentido saindo da página?

Passo 1

a ) Mostre, utilizando explicitamente, a lei de Biot-Savart, que o vetor campo magnético em P devido a todo o segmento é dado por:

B → = μ 0 i 4 π d L L 2 4 + d 2 - x ^

Beleza, vamos nessa!

A lei de Biot-Savart é dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ c o r p o   I d l → × r ^ r 2

Vamos começar pegando um ponto aleatório do fio para analisar esses vetores d l → e r ^ .

d l → × r ^ = d z sen ⁡ ϕ   - x ^

Onde:

sen ⁡ ϕ = d r

Substituindo na lei de Biot-Savart, onde z vai variar entre ( - L / 2 ) e L / 2 :

B → = μ 0 I d 4 π   ∫ - L / 2 L / 2 d z r 3   - x ^

Onde r = z 2 + d 2 .

B → = μ 0 I d 4 π   ∫ - L / 2 L / 2 d z z 2 + d 2 3 / 2   - x ^

Eu sei que nesse momento você olha pra essa integral e bate aquele desespero de leve... aquela lágrima escorre de boa e tal... mas não tema!

Se você tiver que resolver esse tipo de integral, a resposta dela deve estar no seu formulário. Então é só ir lá e dar uma conferida.

B → = μ 0 I d 4 π   - x ^   z d z 2 + d 2 - L / 2 L / 2

Substituindo os valores:

B → = μ 0 i 4 π d L L 2 4 + d 2 - x ^

Passo 2

b ) Quanto deve valer a corrente i S para que o módulo do campo total em P seja 3 B 0 ?

Opa! Beleza!

Dados os sentidos das correntes i e i S , usando a regra da mão direita, você consegue ver que elas vão se somar no ponto P ?

Isso significa que o campo magnético total ali vai ser a soma desses dois caras, onde o campo resultante vai estar entrando na página.

O campo magnético gerado pela corrente i , no ponto P , é dado pelo problema.

B 0 = μ 0 i 2 π d

No ponto P , o campo magnético B S gerado pela corrente i S é dado pela fórmula que encontramos na letra a ... a única diferença aqui é que, como a distância do fio pro ponto é d / 2 , nós vamos pegar a fórmula da letra a e, onde tiver d , nós vamos colocar d / 2 .

Além disso, na Fig. 2 vemos que L = d , então vamos substituir esse cara também. Ok?

Assim, o campo B S será:

B S = μ 0 i S 4 π d 2   d d 2 4 + d 2 2

Agora vamos dar uma arrumada nesse cara.

B S = μ 0 i S 2 π d   d d 2 4 + d 2 4

Como os caras dentro da raíz estão divididos por 4, vamos tirar esse cara da raíz.

B S = μ 0 i S 2 π   1 d 2 2 = μ 0 i S 2 π   2 d

B S = μ 0 i S 2 π d  

Ok... acho que agora não tem mais o que fazer. Vamos voltar ao problema.

Passo 3

De acordo com o problema:

B S + B 0 = 3 B 0

B S = 2 B 0

Substituindo os caras que encontramos ali em cima:

μ 0 i S 2 π d   = 2 μ 0 i 2 π d

μ 0 i S 2 π d   = μ 0 i π d

Beleza, como temos que descobrir o valor de i S , vamos começar simplificando esses caras.

Dos dois lados nós temos μ 0 no numerador e π d no denominador... então podemos sumir com esses caras.

i S 2 = i

i S = 2 i

Passo 4

c ) Utilizando o resultado do item ( a ) , calcule o módulo do campo magnético em P em função de μ 0 , d e i . A corrente i deve circular na espira no sentido horário ou anti-horário para que o campo em P tenha sentido saindo da página?

Na letra a , vimos que o módulo do campo magnético gerado por um fio de comprimento L no ponto P , a uma distância d do fio é dado por:

B = μ 0 i 4 π d L L 2 4 + d 2

A diferença é que, de acordo com a Fig. 3, o comprimento do fio agora será L = d e a distância do fio ao ponto P será d / 2 . Logo:

B = μ 0 i 4 π d 2 d d 2 4 + d 2

Po! Isso é semelhante ao raciocínio que tivemos na letra b pra calcular B S , concorda?

Então, quando acabarmos de arrumar esse cara, ele tem que ficar assim:

B = μ 0 i 2 π d  

Show! Só que como se tratam de 4 fios, o campo magnético resultando no ponto P vai ser a soma dos campos magnéticos de cada fio, logo:

B t o t a l = 4 B

B t o t a l = 4 μ 0 i 2 π d

B t o t a l = 2 2 μ 0 i π d

Resposta

b )

i S = 2 i

c )

B t o t a l = 2 2 μ 0 i π d

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