Considere o circuito da figura, por onde circula uma corrente i . Os segmentos curvos são arcos de círculos com raios a e b e ângulo θ . Os segmentos retos estão dispostos ao longo dos raios.

  1. Use a lei de Biot-Savart para encontrar a expressão literal para o campo magnético B no ponto P . Substitua os valores a = 10 c m ,   b = 5 c m ,   θ = 45 ° ,   i = 1 A e indique o valor do módulo do campo.

Passo 1

Oi, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos lá?

Vamos começar pela lei de Biot-Savart:

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2

Nossa missão aqui é separar esse circuito em quatro segmentos e calcular a contribuição de cada um deles. O campo resultante vai ser a soma dos campos, beleza?

Então vamos começar!

Passo 2

Vamos começar analisando os segmentos retos, aqueles que estão dispostos ao longo dos raios.

Pela lei de Biot-Savart o diferencial de campo é

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2

Como o circuito é composto por 4 segmentos, o d l → não é o mesmo. Assim, o produto vetorial

d l → × r ^

É o que mais queremos saber! Aquele d l → é o vetor diferencial de caminho ao longo da trajetória que estamos analisando. Vou destacar em rosa os caminhos para você identificar melhor

d l é na direção de r → , que são os vetores ao longo dos raios. E o produto escalar de dois vetores que estão na mesma direção é zero!

Sendo assim, não temos contribuição desses segmentos para o campo magnético em P!

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos analisar o arco menor, vou destacar ele em roxo e já aplicar a regra da mão direita para determinar o sentido do campo magnético

Em P esse segmento contribui com uma componente positiva, para fora da página. E o produto vetorial é entre o vetor diferencial de caminho, tangente ao pedacinho de fio e perpendicular ao vetor unitário r ^ ,

d l → × r ^ = d l   z ^

E o resultado é um vetor para fora de comprimento d l . O comprimento d l é o comprimento de arco, e integrando o diferencial campo magnético

∫ d B → = ∫ μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2 = μ 0 4 π I r 2 ∫ d l z ^

Temos l na integral. E o comprimento de arco l quando tem uma abertura angular θ e uma distância r do eixo de referência é l = r θ , com r = b .

Sendo assim o campo magnético devido a esse segmento é

B b → = μ 0 4 π I b 2 r θ = μ 0 I θ 4 π 1 b z ^

Tranquilo?

Passo 4

Agora precisamos calcular a contribuição para o campo magnético devido ao outro arco. O procedimento é bem similar!

Vou destacar no desenho e aplicar a regra da mão direita para determinar o sentido do campo no ponto P:

d l , mas agora na direção - z ^ . Aí o campo no ponto P devido a esse segmento com r = a é

B a → = μ 0 4 π I a 2 a θ = - μ 0 I θ 4 π 1 a z ^

Tranquilo?

Passo 5

E por fim, o campo total no ponto P é a soma das contribuições dos segmentos dos fios:

B → = μ 0 I θ 4 π 1 b z ^ - μ 0 I θ 4 π 1 a z ^ = μ 0 I θ 4 π 1 b - 1 a z ^

E o módulo do vetor é:

B → = μ 0 I θ 4 π 1 b - 1 a

Beleza?

Passo 6

O último passo é substituir os valores de a , b , I e θ para calcular o campo:

a = 10 c m ,   b = 5 c m ,   θ = 45 ° ,   i = 1 A

B → = μ 0 I θ 4 π 1 b - 1 a = 1,26 × 10 - 6 . 1 . π 4 4 π 1 5 × 10 - 2 - 1 10 × 10 - 2 = 7,88 × 10 - 7 T

show! Vamos para a próxima?

Resposta

B → = 7,88 × 10 - 7 T

B → = μ 0 I θ 4 π 1 b - 1 a

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