O arranjo ilustrado na figura abaixo é composto por seis fios retilíneos finitos de comprimento l . A corrente elétrica que circula em tal arranjo é i . Usando a lei de Biot-Savart, calcule:

  1. O módulo do campo magnético no ponto P devido ao fio localizado ao longo do segmento a b .
  2. O módulo do campo magnético no ponto P devido aos fios localizados ao longo do segmento b c .
  3. O módulo, direção e sentido do campo magnético total no ponto P .

Passo 1

É fundamental que nos lembremos aqui do seguinte: uma corrente i que passa em um elemento d l → de um condutor produz um campo magnético  d B → em um ponto P a uma distância  | r → | de   d l → . Esse vetor campo magnético tem expressão dada pela lei de Biot-Savart

d B → = μ 0 i 4 π   d l →   ×   r ^ r 2   ,

sendo  r ^ o vetor unitário que aponta de  d l → para o ponto P onde queremos calcular o campo  d B → . Para fixar o que é cada termo da expressão acima, vamos dar uma olhada para a figura abaixo, em que colocamos o ponto P sobre o eixo Y a uma distância y da origem e vetor   d l → é orientado sempre na direção e sentido da corrente i que passa no condutor.

O campo magnético d B → vai ter direção e sentido dado pelo produto vetorial  d l →   ×   r ^ = d l → r ^ sen ⁡ α ( + k ^ ) , em que α é o ângulo entre   d l → r ^ e o produto d l →   ×   r ^ vai estar entrando no plano da página e será perpendicular a ela.

Agora, colocando cada termo de acordo com a figura, temos que d l → = d x r ^ = 1 (módulo de um vetor unitário é   1 !). Outra coisa que já podemos fazer é desconsiderar as duas partes do fio que estão na horizontal, pois eles não contribuem para o campo no ponto P , uma vez que α = 0 ˚ e α = 180 ˚ e d l → × r ^ = 0 para esses casos.

Passo 2

Vamos continuar nossa solução focando na próxima figura abaixo.

Olhando para esse desenho, podemos escrever que o módulo do campo magnético é

d B → = μ 0 i 4 π   d x sin ⁡ α r 2   .

Agora, vamos calcular  | d B → | no ponto P levando em conta, primeiro, o ângulo θ da figura acima e depois integrando esse ângulo entre – θ 2 e θ 1 da figura do Passo 1. Do triângulo retângulo da figura acima, vemos que

sin ⁡ α = sin ⁡ π - α = y r = y x 2 + y 2   .

Além disso, temos também

tan ⁡ θ = x y   → x = y tan ⁡ θ   .

Derivando essa expressão em relação x , obtemos

d x = y sec 2 ⁡ θ d θ   .

Juntando tudo isso:

d B → =   μ 0 i 4 π ⁡ y 2 sec 2 ⁡ θ d θ y 2 tan 2 ⁡ θ + y 2 3 2 = μ 0 i 4 π y 2 sec 2 ⁡ θ d θ y 3 1 + tan 2 ⁡ θ 3 2   .

Como sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ , podemos simplicar a expressão acima.

d B → = μ 0 i 4 π y 2 sec 2 ⁡ θ d θ y 3 1 + tan 2 ⁡ θ 3 2 = μ 0 i 4 π y 2 sec 2 ⁡ θ d θ y 3 sec 3 ⁡ θ = μ 0 i 4 π d θ y sec ⁡ θ

d B → = μ 0 i 4 π y cos ⁡ θ d θ

E agora basta integrar de – θ 2 a θ 1 (dá um olhada na figura do Passo 1 para entender porque integraremos assim!):

B → = μ 0 i 4 π   1 y   ∫ - θ 2 θ 1 cos ⁡ θ d θ     ⇒   B → = μ 0 i 4 π y   [ sin ⁡ θ 1 + sin ⁡ ( θ 2 ) ]   .

Essa expressão é interessante, porque pode te ajudar em outros problemas mais gerais do que este…

Uma vez que temos essa expressão geral, agora podemos aplicar para o caso particular do nosso problema, aplicando para cada pedaço do condutor.

Passo 3

a) Para o lado a b da figura do enunciado, basta aplicarmos na expressão acima: y = l , θ 1 = 45 ˚ e θ 2 = 0 ˚ , como podemos ver na figura abaixo.

Campos produzidos pela corrente i nos trechos a b e c d :

Os campos de a b e de c d têm o mesmo módulo igual a

B → a b = B → c d = μ 0 i 4 π l sin ⁡ 45 ˚   ⇒   B → a b = B → c d = 2 μ 0 i 8 π l   .

Ambos os campos estão entrando no plano da página e são perpendiculares a ela, ou seja, estão na direção e sentido de + k ^ .

Passo 4

b) Campos produzidos pela corrente i no trecho b c :

De acordo com a figura abaixo, neste caso temos y = l e θ 1 = θ 2 = 45 ˚ .

Por isso, o módulo do campo devido a esse trecho será

B → b c = μ 0 i 4 π l   2 sin ⁡ 45 ˚   ⇒   B → b c = 2 μ 0 i 4 π l   ,  

e tem a direção e o sentido de + k ^ .

Passo 5

c) Todos os campos que acabamos de calcular terão direção e sentido perpendiculares à página e entrando nela. Por isso, o campo magnético total no ponto P será:

B → R = B → a b + B → b c + B → c d = 2 μ 0 i 2 π l   + k ^ .

Resposta

  1. B → a b = B → c d = 2 μ 0 i 8 π l + k ^   ;
  2. B → c d = 2 μ 0 i 4 π l + k ^   ;
  3. B → R = 2 μ 0 i 2 π l   + k ^

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