O fio condutor fino mostrado na figura abaixo é formado por dois trechos retilíneos e

semi-infinitos, paralelos ao eixo Z   de um sistema de coordenadas, unidos por um trecho semicircular de raio R   contido no plano X Y e centrado na origem. Este fio transporta uma corrente estacionária de intensidade I , no sentido indicado na figura. Nessa situação, determine, justificando cuidadosamente todo o desenvolvimento:

(a) O vetor campo magnético resultante produzido pelos dois trechos retilíneos na origem.

(b) O vetor campo magnético produzido pelo trecho semicircular na origem.

(c) O vetor campo magnético resultante produzido pelo fio na origem e o módulo deste campo.

Passo 1

a)O campo magnético vai ser dado pela lei de Biot-Savart

d B → = μ 0 I 4 π ⅆ l → × r ^ r ²

Vamos começar calculando o campo magnético para a linha à esquerda do eixo z (na figura). Nesse caso, ⅆ l → está posicionado no ponto ( - R , z , 0 ) e é dado por ⅆ l → = d z z ^

Pela figura acima, sabemos que

ⅆ l → × r ^ = d z   s e n ( π - θ ) y ^

ⅆ l → × r ^ = d z   s e n ( θ ) y ^

ⅆ l → × r ^ = d z R r y ^

Onde r = R 2 + z ² .

Substituindo na lei de Biot-Savart:

d B → = μ 0 I 4 π R d z y ^ ( R 2 + z 2 ) 3 / 2

Mas esse é um campo magnético para um elemento infinitesimal, para encontrarmos o campo total produzido, vamos integrar de 0 a

B → 1 = ∫ 0 ∞ μ 0 I 4 π R d z y ^ ( R 2 + z 2 ) 3 / 2

B → 1 = R μ 0 I 4 π y ^ ∫ 0 ∞ d z ( R 2 + z 2 ) 3 / 2

B → 1 = R μ 0 I 4 π y ^ 1 R ²

B → 1 = μ 0 I 4 π 1 R y ^

Para o fio localizado à direita do eixo z , o procedimento é exatamente igual, obtendo o mesmo resultado para B → 2 , então:

B → l i n h a s = B → 1 + B → 2

B → l i n h a s = μ 0 I 4 π 1 R y ^

B → l i n h a s = μ 0 I 2 π 1 R y ^

Passo 2

b)Mais uma vez, vamos utilizar a lei de Biot-Savart ta bom? Mas dessa vez, ⅆ l → é tangente à semicircunferência e r = R em todos os pontos da semicircunferência. Então temos que

ⅆ l → × r ^ = ⅆ l →   s e n ( π 2 ) z ^

ⅆ l → × r ^ = ⅆ l →   z ^

Pela lei de Biot-Savart:

d B → = μ 0 I 4 π ⅆ l → z ^ R ²

Integrando, temos que

B → = ∫ μ 0 I 4 π ⅆ l → z ^ R ²

B → = μ 0 I 4 π z ^ π R R ²

Então, o campo magnético no semicírculo é dado por:

B → = μ 0 I 4 z ^ R

Passo 3

c)O campo magnético total será dado pela soma do campo magnético nas linhas com o campo no semicírculo:

B → t o t a l = μ 0 I 2 π 1 R y ^ + μ 0 I 4 z ^ R

B → t o t a l = μ 0 I 4 π R ( 2 y ^ + π z ^ )

O módulo desse campo será dado por

B = B y 2 + B z ²

B = μ 0 I 4 π R 4 + π ²

Resposta

  1. B → l i n h a s = μ 0 I 2 π 1 R y ^
  2. B → = μ 0 I 4 z ^ R
  3. B → t o t a l = μ 0 I 4 π R ( 2 y ^ + π z ^ )

B = μ 0 I 4 π R 4 + π ²

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