Um fio infinitamente longo transportando uma corrente i é dobrado conforme a figura, sendo que a parte semicircular está contida no plano y z .

Calcule no ponto O :

a ) O vetor campo magnético devido às partes retas do fio;

b ) O vetor campo magnético devido à espira semicircular;

c ) O campo magnético total;

d ) A força que atua sobre uma carga q 0 com velocidade v → = v 0 x ^ no ponto O ;

Passo 1

a ) O vetor campo magnético devido às partes retas do fio;

Para calcular o campo magnético, vamos precisar da lei de Biot-Savart, dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Onde o vetor d l → tem a mesma direção e sentido da corrente.

Vamos fazer uma parte retilínea de cada vez, ok?

  • Fio no eixo y :

Aqui podemos ver que os vetores d l → × r ^ são anti-paralelos, logo:

d l → × r ^ = 0

B → y = 0

Passo 2

  • Fio no eixo x :

Da figura podemos tirar que:

I = i

d l → = d x - x ^

r ^ = - cos ⁡ θ x ^ + sen ⁡ θ y ^

r ^ = - x x 2 + R 2 x ^ + R x 2 + R 2 y ^

r = x 2 + R 2

0 ≤ x < + ∞

Substituindo isso na expressão da lei de Biot-Savart, teremos:

B → = μ 0 i 4 π ∫ 0 + ∞ d x - x ^ × - cos ⁡ θ x ^ + sen ⁡ θ y ^ x 2 + R 2

B → = μ 0 i 4 π ∫ 0 + ∞ sen ⁡ θ d x x 2 + R 2 - z ^

B → = μ 0 i 4 π ∫ 0 + ∞ R d x x 2 + R 2 3 / 2 - z ^

B → = μ 0 i R 4 π ∫ 0 + ∞ d x x 2 + R 2 3 / 2 - z ^

Se você olhou pra essa integral e não faz ideia de como ela é resolvida, o próximo passo vai te ensinar a resolver a integral.

B → x = μ 0 i R 4 π x R 2 x 2 + R 2 0 + ∞ - z ^

B → x = μ 0 i R 4 π lim x → + ∞ ⁡ x R 2 x 2 + R 2 - 0 - z ^

B → x = μ 0 i R 4 π lim x → + ∞ ⁡ 1 R 2 1 + R 2 x 2 - z ^

B → x = μ 0 i R 4 π 1 R 2 - z ^

B → x = - μ 0 i 4 π R z ^

Passo 3

Ok, vamos voltar naquela integral:

∫ d x x 2 + R 2 3 / 2

Esse cara é resolvido a partir de uma substituição trigonométrica:

x = R tan ⁡ ϕ

d x = R sec 2 ⁡ ϕ   d ϕ

Logo:

∫ R sec 2 ⁡ ϕ R 2 tan 2 ⁡ ϕ + R 2 3 / 2 d ϕ = ∫ R sec 2 ⁡ ϕ R 3 tan 2 ⁡ ϕ + 1 3 / 2 d ϕ

Lembrando que tan 2 ⁡ ϕ + 1 = sec 2 ⁡ ϕ , podemos reescrever a expressão acima como:

= 1 R 2 ∫ sec 2 ⁡ ϕ sec 2 ⁡ ϕ 3 / 2 d ϕ = 1 R 2 ∫ sec 2 ⁡ ϕ sec 3 ⁡ ϕ d ϕ = 1 R 2 ∫ 1 sec ⁡ ϕ d ϕ

= 1 R 2 ∫ cos ⁡ ϕ d ϕ = 1 R 2 sen ⁡ ϕ

A partir da substituição que fizemos, podemos dizer que:

tan ⁡ ϕ = x R

Colocando isso em um triângulo retângulo, podemos ver que:

sen ⁡ ϕ = x x 2 + R 2

Sendo assim:

∫ d x x 2 + R 2 3 / 2 = x R 2 x 2 + R 2

Esse é o tipo de integral que vira e mexe aparece nesse tipo de questão. Algumas vezes o próprio problema dá a resposta dessa integral, ou ela pode estar no seu formulário, mas se não estiver, agora você sabe calcular.

Passo 4

b ) O vetor campo magnético devido à espira semicircular;

Novamente, vamos recorrer à lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Vamos analisar graficamente esse cara:

Aqui é possível ver que, para qualquer ponto que analisarmos:

d l → × r ^ = d l - x ^ = R d θ - x ^

0 ≤ θ ≤ π

r = R

Logo:

B → c i r c = μ 0 i 4 π ∫ 0 π R d θ R 2 - x ^

B → c i r c = μ 0 i 4 π R ∫ 0 π d θ - x ^

B → c i r c = μ 0 i π 4 π R - x ^

B → c i r c = - μ 0 i 4 R x ^

Passo 5

c ) O campo magnético total;

O campo magnético total será dado por:

B → = B → x + B → y + B → c i r c

B → = - μ 0 i 4 π R z ^ + 0 - μ 0 i 4 R x ^

B → = - μ 0 i 4 R 1 π z ^ + x ^

Passo 6

d ) A força que atua sobre uma carga q 0 com velocidade v → = v 0 x ^ no ponto O ;

A força magnética sobre a carga q 0 é dada por:

F → = q 0 v → × B →

F → = q 0 v 0 x ^ × - μ 0 i 4 R 1 π z ^ + x ^

F → = μ 0 i q 0 v 0 4 π R y ^

Resposta

a )

B → y = 0

B → x = - μ 0 i 4 π R z ^

b )

B → c i r c = - μ 0 i 4 R x ^

c )

B → = - μ 0 i 4 R 1 π z ^ + x ^

d )

F → = μ 0 i q 0 v 0 4 π R y ^

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