I I A figura abaixo mostra um circuito formado por dois trechos semicirculares de raios a e 2 a e dois trechos retos. Uma corrente I percorre o circuito no sentido indicado na figura. Calcule o campo magnético no ponto P .

Passo 1

I I Calcule o campo magnético no ponto P .

O primeiro passo é dividir esse problema em 4 partes, onde calcularemos o campo magnético gerado por cada fio (arco maior, arco menor e fios retilíneos) através da Lei de Biot-Savart, dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Como a corrente é uniforme, podemos reescrever a lei dessa forma:

B → = μ 0 I 4 π ∫ corpo   d l → × r ^ r 2

Lembrando que d l → sempre está na direção e sentido da corrente.

Passo 2

Vamos nessa!

  • Fios retilíneos:
  • Nos dois fios retilíneos, d l → e r ^ são colineares. Isso significa que, em ambos os casos:

    d l → × r ^ = 0

    Logo, para ambos:

    B → 1 = B → 2 = 0

  • Arco maior:
  • Para o arco maior, r = 2 a , d l → = 2 a   d θ   - θ ^ , onde o vetor θ ^ é positivo quando no sentido anti-horário.

    Assim, para o arco maior:

    d l → × r ^ = 2 a   d θ   - k ^

    B → 3 = 2 a μ 0 I 4 π 4 a 2   ∫ 0 π d θ   - k ^

    B → 3 = 2 a μ 0 I 16 π a 2   ∫ 0 π d θ   - k ^

    B → 3 = μ 0 I 8 π a π   - k ^

    B → 3 = μ 0 I 8 a   - k ^

  • Arco menor:

Para o arco menor, r = a , d l → = a   d θ   θ ^ .

Assim, para o arco menor:

d l → × r ^ = a   d θ   k ^

B → 4 = a μ 0 I 4 π a 2   ∫ 0 π d θ   k ^

B → 4 = a μ 0 I 4 π a 2   ∫ 0 π d θ   k ^

B → 4 = μ 0 I 4 π a π   k ^

B → 4 = μ 0 I 4 a   k ^

Assim, o campo magnético total gerado no ponto P será:

B → = B → 1 + B → 2 + B → 3 + B → 4

B → = μ 0 I 4 a 1 - 1 2 k ^

B → = μ 0 I 8 a k ^

Resposta

I I

B → = μ 0 I 8 a k ^

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