(I) (1,0 ponto) Uma espira plana, contida no plano x y , é constituída de um segmento circular de raio R e dois segmentos retos de comprimento R , conforme a figura. Pela espira flui o sentido anti-horário uma corrente I . Calcule o vetor campo magnético B O → produzido pela espira no ponto O (origem do sistema de coordenadas).

Passo 1

Podemos calcular o campo magnético B O → pedido no item (I) utilizando, inicialmente, a lei de Biot e Savart, dada por:

d B O → = μ 0 I 4 π d l → × r ^ r 2 .

Em seguida, calculamos a integral em todos os segmentos d l → que conduzem a corrente para obtermos B O → .

Passo 2

A espira possui três principais regiões: dois segmentos retos e um terceiro dado por um quarto de circunferência.

Para os segmentos retos, d l → e r ^ são paralelos, o que significa que seu produto vetorial é nulo. Portanto, estes segmentos não vão colaborar para o cálculo do campo magnético.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a figura a seguir para analisar a terceira região, constituída do quarto de circunferência.

Bem, somos capazes de perceber que, nesse caso, d l → e r ^ são ortogonais entre si. Pela regra da mão direita, temos:

d l → × r ^ = d l   k ^ .

A partir da equação de Biot e Savart, temos:

d B O → = μ 0 I 4 π R 2 d l   k ^ .

Passo 4

Finalmente, integramos a equação acima para calcular B O → :

B O → = μ 0 I 4 π R 2 ∫ d l   k ^ = μ 0 I 4 π R 2 π R 2   k ^ ,

B O → = μ 0 I 8 R k ^ .

Resposta

O vetor campo magnético   B O → é dado por:

B O → = μ 0 I 8 R k ^ .

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