Exercícios Resolvidos de Lei de Biot-Savart Geral

UFRJ – Prova 2 – 2013.1 – Múltipla Escolha nº2.

Uma corrente estacionária, de intensidade I , flui ao longo de um segmento retilíneo que se divide, igualmente, em quatro meridianos de uma esfera de raio a , perpendiculares (dois a dois) entre si, e reencontrando-se num outro segmento retilíneo. Qual é o módulo do campo magnético no centro P da esfera?

  1. μ 0 i a
  2. μ 0 i 2 a
  3. 0
  4. μ 0 i 4 a
  5. 3 μ 0 i 2 a

Passo 1

É a Lei de Biot-Savart que nos dá a fórmula para calcular campo magnético produzido por uma corrente né?

B → = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

É ela que vamos usar!!

Mas pera, vamos analisar primeiro os segmentos retilíneos e depois os segmentos semicirculares, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então bora analisar os segmentos retilíneos.

Para os dois segmentos retilíneos os vetores  d l → e r ^ , para o cálculo do campo no ponto P, estão alinhados, ou seja, o ângulo entre eles é 0 ° ou 180 ° . Para esses casos podemos mostrar que:

d l → × r ^ = d l s e n   θ = 0

Então, os segmentos retilíneos não contribuem para o campo no ponto P.

Passo 3

Agora, nos resta analisar os segmentos semicirculares. Para achar o campo produzido por cada um desses segmentos no ponto P precisamos calcular essas quatro integrais.

SÉRIO?? :/

Calma! O truque neste caso é se aproveitar da simetria.

Vamos analisar primeiro o campo produzido por um par de segmentos semicirculares que estão um frente ao outro. Podemos aplicar a lei de Biot-Savart sobre todo o comprimento dos dois segmentos e teremos esse resultado:

Pela figura podemos perceber que os campos produzidos por cada segmento possuem a mesma direção, mas sentidos opostos.

Note também que a corrente que passa pelos dois segmentos é a mesma, o comprimento dos dois segmentos é o mesmo e a distância dos segmentos para o ponto P também é a mesma, pois o ponto P é o centro da semicircunferência. Então nós temos que o módulo dos campos produzidos é o mesmo.

Então os campos se anulam e o campo resultante desse par será zero no ponto P.

Analogamente, o outro par vai zerar também.

Logo, o campo total é:

B → = 0 →

Resposta

Letra c

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