Uma espira com corrente de intensidade I = 3 A tem a forma de dois arcos de circunferência concêntricos unidos por segmentos retilíneos. O arco de menor raio a = π   c m subentende um ângulo α = 2 π / 3   r a d , e o raio do outro arco é b = 2 π   c m . Os dois segmentos retilíneos são radiais em relação ao centro C da espira.

Adote o valor μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A .

a ) Usando a Lei de Biot-Savart e adotando o sistema de coordenadas da figura, calcule cada uma das contribuições para o vetor campo magnético gerado pela espira em seu centro C :

i contribuição B → 1 dos segmentos retilíneos;

i i contribuição B → 2 do arco menor;

( i i i ) contribuição B → 3 do arco maior;

( i v ) o vetor campo magnético total B → T gerado pela espira em C .

b ) Sabendo que um campo magnético externo uniforme e muito intenso, dado por B → = 0,4   T   x ^ , está presente em toda a região da espira, calcule o vetor torque sobre a espira.

(Nota: use a aproximação π ≅ 3 ).

c ) Considere agora uma nova situação na qual o campo magnético total em C seja dado por B → = - 0,005   T z ^ , e que uma partícula de carga negativa de módulo 5   μ C passa por C com velocidade v → = 3 × 10 4   m / s x ^ . Calcule o vetor força magnética sobre a partícula.

Passo 1

a . i ) contribuição B → 1 dos segmentos retilíneos;

A Lei de Biot-Savart é dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Onde d l → é um pedaço infinitesimal do segmento cujo vetor aponta sempre na mesma direção e sentido da corrente, e r ^ é o vetor unitário que vai do segmento ao ponto onde estamos calculando o campo magnético.

Então vamos começar analisando os vetores d l → e r ^ nos segmentos retilíneos:

Em ambos os segmentos retilíneos, os vetores d l → e r ^ são colineares... isso significa que:

d l → × r ^ = 0

Assim, a contribuição B → 1 dos segmentos retilíneos será:

B → 1 = 0

Passo 2

a . i i ) contribuição B → 2 do arco menor;

Novamente, vamos começar analisando os vetores d l → e r ^ no arco menor:

Nesse caso, como d l → é sempre tangente ao arco e r ^ aponta para o centro do arco, os dois serão sempre perpendiculares, para qualquer ponto. Logo, através da regra da mão direita:

d l → × r ^ = - d l   z ^

Aplicando isso à Lei de Biot-Savart onde r = a e I são constantes, teremos:

B → 2 = - μ 0 I 4 π a 2 ∫ corpo   d l z ^

Onde ∫ corpo   d l será igual ao comprimento do arco:

B → 2 = - μ 0 I 4 π a 2 a 2 π 3   z ^

B → 2 = - μ 0 I 6 a   z ^

Substituindo os valores de μ 0 , I e a , teremos:

B → 2 = - 4 π × 10 - 7 × 3 6 × π × 10 - 2   z ^

B → 2 = - 2 × 10 - 5   T   z ^

Passo 3

a . i i i ) contribuição B → 3 do arco maior;

Novamente, vamos começar analisando os vetores d l → e r ^ no arco maior:

Nesse caso, como d l → é sempre tangente ao arco e r ^ aponta para o centro do arco, os dois serão sempre perpendiculares, para qualquer ponto. Logo, através da regra da mão direita:

d l → × r ^ = - d l   z ^

Aplicando isso à Lei de Biot-Savart onde r = b e I são constantes, teremos:

B → 3 = - μ 0 I 4 π b 2 ∫ corpo   d l z ^

Onde ∫ corpo   d l será igual ao comprimento do arco, que será o produto do raio do arco maior b com o ângulo de abertura do arco maior:

B → 3 = - μ 0 I 4 π b 2   b 2 π - 2 π 3 z ^

B → 3 = - μ 0 I 4 π b 2 b 4 π 3 z ^

B → 3 = - μ 0 I 3 b z ^

Substituindo os valores de μ 0 , I e b , teremos:

B → 3 = - 4 π × 10 - 7 × 3 3 × 2 π × 10 - 2 z ^

B → 3 = - 2 × 10 - 5   T   z ^

Passo 4

a . i v ) o vetor campo magnético total B → T gerado pela espira em C .

O campo magnético total no ponto C será a soma dos campos magnéticos gerados pelos segmentos retilíneos e os arcos, logo:

B → T = B → 1 + B → 2 + B → 3

B → T = 0 - 2 × 10 - 5 z ^ - 2 × 10 - 5 z ^

B → T = - 4 × 10 - 5   T   z ^

Passo 5

b ) Sabendo que um campo magnético externo uniforme e muito intenso, dado por B → = 0,4   T   x ^ , está presente em toda a região da espira, calcule o vetor torque sobre a espira.

O torque magnético sobre a espira é dada por:

τ → = μ → × B →

Onde μ → é o vetor campo magnético, dado por:

μ → = I A →

Onde A → é o vetor cujo módulo é a área da espira e a direção e sentido são determinados através da regra da mão direita, de acordo com o sentido da corrente:

A → = π a 2 × 1 3 + π b 2 × 2 3 - z ^

Substituindo os valores de a e b , e adotanto π = 3 (de acordo com o enunciado), teremos:

A → = 3 × 3 × 10 - 2 2 × 1 3 + 3 × 6 × 10 - 2 2 × 2 3 - z ^

A → = 9 × 10 - 4 + 72 × 10 - 4 - z ^

A → = 81 × 10 - 4   m 2 - z ^

Assim, o momento magnético será dado por:

μ → = I A →

μ → = 3 × 81 × 10 - 4 - z ^

μ → = 243 × 10 - 4 - z ^

Finalmente, o torque magnético será dado por:

τ → = μ → × B →

τ → = 243 × 10 - 4 - z ^ × 0,4   x ^

τ → = 9,72 × 10 - 3 N . m - y ^

Passo 6

c ) Considere agora uma nova situação na qual o campo magnético total em C seja dado por B → = - 0,005   T z ^ , e que uma partícula de carga negativa de módulo 5   μ C passa por C com velocidade v → = 3 × 10 4   m / s x ^ . Calcule o vetor força magnética sobre a partícula.

A força magnética sobre uma partícula carregada é dada por:

F → = q v → × B →

Substituindo os valores:

F → = - 5 × 10 - 6 × 3 × 10 4 × 0,005   x ^ × z ^

F → = - 5 × 10 - 6 × 3 × 10 4 × 0,005   - y ^

F → = 7,5 × 10 - 4   N   y ^

Resposta

a . i )

B → 1 = 0

a . i i )

B → 2 = - 2 × 10 - 5   T   z ^

a . i i i )

B → 3 = - 2 × 10 - 5   T   z ^

a . i v )

B → T = - 4 × 10 - 5   T   z ^

b )

τ → = 9,72 × 10 - 3 N . m - y ^

c )

F → = 7,5 × 10 - 4   N   y ^

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