Na figura abaixo temos dois fios retilíneos semi-infinitos A B e C D , conectados a um fio curvo B C que é um segment circular de raio R e abertura angular θ . Todos os fios pertencem ao plano da página e são percorridos por uma corrente elétrica constant i . Nestas condições,

  1. Escreva a equação da lei de Biot-Savart em sua forma vetorial, identificando numa figura esquemática todos os elementos inerentes a tal equação
  2. Calcule o modulo do campo magnético total em O , expressando seu resultado em termos de i , R e θ .
  3. Qual a direção e o sentido (com relação ao plano da página) do vetor campo magnético total em O ?

Passo 1

Letra (a). A Lei de Biot-Savart determina o campo magnético gerado por cada pedacinho de um fio em termos vetoriais. Por isso, quando o fio tem um formato mais maluco (como é o caso da questão), temos de recorrer a essa lei.

Um caso específico da lei de Biot-Savart é a lei de Ampère mas ela se aplica apenas a fios retilíneos e infinitos. Enfim, vamos representar isso esquematicamente, como a questão pede:

Gostou do desenho? A galera da NASA que fez pra mim 😉

d B → é a componente de campo gerada pelo pedacinho de fio, onde passa a corrente i, na direção d s → (vetor unitário). A distância entre esse pedacinho de fio e o ponto onde queremos analisar o campo magnético gerado vale r → = r . r ^ , o “r” com chapeuzinho é o vetor unitário ok? Então:

d B → = μ 0 i 4 π d s → × r ^ r 2

Onde, lembrando, r ^ = r → | r → |

Passo 2

Letra (b). Temos então de integrar três pedaços diferentes. Vamos começar aqui com a primeira parte: o pedaço A B !

Temos nessa situação o seguinte:

Pela figura:

| d s × r | = d s . r . s e n α = d s . s e n α

Só que

90 - θ + α = 180

α = 90 + θ

E então

s e n α = s e n 90 + θ = s e n 90 cos ⁡ θ + cos ⁡ 90 s e n θ = c o s ⁡ ( θ )

E assim

| d s × r | = d s . c o s ⁡ ( θ )

Além disso

r = R cos ⁡ θ

Substituindo na equação:

d B → = μ 0 4 . π . i . d s → × r ^ r 2 = μ 0 4 . π . i . d s . c o s ⁡ ( θ ) R 2 cos 2 ⁡ θ = μ 0 i . cos 3 ⁡ θ 4 . π . R 2 . d s

Temos então de expressar s em função de θ . Na verdade, podemos notar que:

d s = d x   e   q u e   x = R . t g θ → d x = d s = R . sec 2 ⁡ θ . d θ

Substituindo isso, resta integrar para θ variando de 0 a 90 ° :

B A B = μ 0 4 . π ∫ θ = 0 90 ° i . cos 3 ⁡ θ R 2 . R . sec 2 ⁡ θ . d θ = μ 0 i 4 . π .   R ∫ θ = 0 90 ° cos 3 ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ . d θ

= μ 0 . i 4 . π . R . ∫ θ = 0 90 ° cos ⁡ θ . d θ

= μ 0 . i 4 . π . R

O campo gerado por esse pedaço A B aponta para cima, no ponto O, saindo da folha de papel. Os mesmos cálculos e a mesma coisa acontece quando tomamos o campo C D :

B C D = B A B = μ 0 . i 4 . π . R

Queremos, na verdade, o valor de:

B A B + B B C + B C D

Sabemos uma parte dessa soma:

B T O T A L = B B C + B A B + B C D = B B C + μ 0 . i 2 . π . R

Resta então calcular o campo magnético gerado pela parte redonda. Lembre-se: consideramos campos positivos quando eles apontam para fora da página, ok?

Passo 3

Letra (b). Continuação. Indo para a parte redonda, o arco B C , temos que os vetores r → e d s → formarão um ângulo de 90 ° em cada pedaço do fio. Além disso: r = R . Ou seja:

d B B C → = μ 0 4 . π . i . d s → × r ^ r 2 = μ 0 4 . π . i . d s . s e n 90 ° . ( k ^ ) R 2 = μ 0 4 . π . i . d s R 2 . ( k ^ )

Assim, esse vetor k ^ representa um vetor que aponta para fora da página.

A integração nessa situação é ainda mais direta:

B B C → = μ 0 4 . π . ∫ â n g u l o = 0 â n g u l o = θ i . d s R 2 . ( k ^ ) = μ 0 4 . π . i . θ . R R 2 . k ^ = μ 0 4 . π . i . θ R . ( k ^ )

Assim, somando todos os campos, chegamos até a resposta final:

B T O T A L = B B C + μ 0 . i 4 . π . R = μ 0 4 . π . i . θ R + μ 0 . i 2 . π . R = μ 0 4 . π . i . θ R + 2 . i R = μ 0 . i 4 . π . R . ( 2 + θ )

Passo 4

Letra (c). Assim, todos os campos magnéticos gerados por diferentes partes do fio contribuem para que o campo magnético aponte para fora da página.

Resposta

Letra (a).

d B → = μ 0 4 . π . i . d s → × r ^ r 2

Letra (b).

μ 0 . i 4 . π . R . ( 2 + θ )

Letra (c).

Para fora, saindo, do plano da página.

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