Enunciado

(Capítulo 13.2 – Exercício 3)

(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.

(b) Determine r’(t).

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

r t = t - 2 ,   t 2 + 1 ,                                     t = - 1

Passo 1

Oieeee gente!!

Vamos lá, nesse exercício, temos uma curva r ( t ) , e aí queremos:

- Esboçar o gráfico dessa curva

- Encontrar a derivada da curva

- Esboçar o vetor da curva no valor dado de t , junto com o vetor tangente

Vamosss que vai ser tranquilíssimo, blz?

Passo 2

a) Temos a curva:

r t = t - 2 ,   t 2 + 1

Podemos escrever isso como equações paramétricas, assim:

x = t - 2 y = t 2 + 1

Isolando t na primeira equação, temos que t = x + 2

Agora vamos substituir isso na segunda equação:

y = x + 2 2 + 1

y = x 2 + 4 x + 5

Legaaal, temos a expressão que representa a nossa curva em x e y , vamos esboçar isso

Passo 3

A função y = f x = x 2 + 4 x + 5 é uma forma mais “familiar” da função vetorial r ( t )

Isso vai ser uma parábola com a concavidade pra cima, assim ó:

Agora vamos lá pros próximos itens :D

Passo 4

b) Agora queremos determinar a derivada da curva r ( t ) . Derivando individualmente as componentes de r ( t ) :

r t = ( t - 2 , t 2 + 1 )

r ' t = ( 1 ,   2 t )

Show?

Passo 5

c) O vetor posição r ( t ) em t = - 1 é

r - 1 = ( - 3 ,   2 )

Por outro lado, o vetor tangente em t = - 1 , tem origem no ponto (-3, 2) e é dado por

r ' - 1 = ( 1 ,   - 2 )

Então, podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

E fimmm

Resposta

a)

b) r ' t = ( 1 ,   2 t )

c)

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