4 Calcule o comprimento das curvas dadas no intervalo dado.

d) y = 1 3 x 3 / 2 - x 1 / 2 , x ∈ 2,8

Passo 1

Como vai meu consagrado? 😁 Bora aprender a como resolver essa questão? 😉

Nessa questão queremos obter o comprimento da curva y = 1 3 x 3 / 2 - x 1 / 2 , com x entre 2 e 8 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para obter o comprimento de uma curva, temos que aplicar uma fórmula dada por

L = ∫ L 1 L 2 r → t d t

Ou, para esse caso como a curva não está parametrizada, podemos usar

L = ∫ x 1 x 2 1 + y ' 2 d x

Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar derivando a função y

y ' = d 1 3 x 3 2 - x 1 2 d x

y ' = 1 3 3 2 x 3 2 - 1 - 1 2 x 1 2 - 1

y ' = 1 2 x 1 2 - 1 2 x - 1 2

y ' = x 2 - 1 2 x

Substituindo em L com os limites de integração x 1 = 2 e x 2 = 8

L = ∫ 2 8 1 + x 2 - 1 2 x 2 d x

L = ∫ 2 8 1 + x 2 2 - 2 x 2 1 2 x + 1 2 x 2 d x

Simplificando...

L = ∫ 2 8 1 + x 4 - 2 1 4 + 1 4 x d x

L = ∫ 2 8 1 + x 4 - 2 4 + 1 4 x d x

Colocando todos no mesmo denominador

L = ∫ 2 8 4 x 4 x + x 2 4 x - 2 x 4 x + 1 4 x d x = ∫ 2 8 x 2 + 4 x - 2 x + 1 4 x d x

L = ∫ 2 8 x 2 + 2 x + 1 4 x d x

L = ∫ 2 8 x + 1 2 4 x d x

L = ∫ 2 8 x + 1 2 x d x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Integrando L , temos

L = ∫ 2 8 x + 1 2 x d x = 1 2 ∫ 2 8 x x + 1 x d x

L = 1 2 ∫ 2 8 x + 1 x d x

∫ x + 1 x d x = x 1 2 + 1 1 2 + 1 + x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

∫ x + 1 x d x = x 3 2 3 2 + x 1 2 1 2 = 2 x x 3 + 2 x

Aplicando os limites de integração...

∫ 2 8 x + 1 x d x = 2 x x 3 + 2 x 2 8

∫ 2 8 x + 1 x d x = 2 8 8 3 + 2 8 - 2 2 2 3 + 2 2

∫ 2 8 x + 1 x d x = 44 2 3 - 10 2 3 = 3 4 2 3

E finalmente substituindo em L , temos

L = 1 2 ∫ 2 8 x + 1 x d x = 1 2 · 34 2 3

L = 17 2 3

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

L = 17 2 3

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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