1 – Parametrize a curva C definida por

C = 2 x + y = 2 2 z 2 + x 2 + y = 2

E esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que parametrizar a curva C definida por partes e projetar duas curvas nos planos coordenados.

Parece complicado? 🤔

Para parametrizar uma curva, definimos uma variável como principal e definimos as outras variáveis em função da variável principal.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos definir x como nossa variável principal e fazer x = t .

Dessa forma podemos escrever y como

2 x + y = 2 → 2 t + y = 2

y = 2 - 2 t

Já para z , temos

2 z 2 + x 2 + y = 2 → 2 z 2 + t 2 + 2 - 2 t = 2

2 z 2 = 2 t - t 2

z = 2 t - t 2 2

Portanto C pode ser parametrizado como

C t = t , 2 - 2 t , 2 t - t 2 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Para esboçar as projeções de C nos planos coordenados, escolhemos duas coordenadas entre t , 2 - 2 t , 2 t - t 2 2 e igualamos à variável do plano escolhido, por exemplo

x = t

y = 2 - 2 t

z = 2 t - t 2 2

Esboçando essas equações cada uma em seu plano, temos

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

C t = t , 2 - 2 t , 2 t - t 2 2

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π