Determine F ' ( t ) , F ' ' ( t )   e   ∫ 0 2 π F ( t ) d t

F ( t ) = ( c o s ( t ) , s i n ( t ) )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é Determinar F ' ( t ) , F ' ' ( t )   e   ∫ 0 2 π F ( t ) d t

F ( t ) = ( c o s ( t ) , s i n ( t ) )

Como fazemos isso?

Passo 2

Bem Para encontrarmos F ' ( t ) , derivamos cada coordenada da nossa curva parametrizada. E, de forma análoga, para encontrarmos F ' ' ( t ) derivamos duas vezes.

Dessa forma temos que:

F ( t ) = ( c o s ( t ) , s i n ( t ) )

F ' ( t ) = ( - s i n ( t ) , c o s ( t ) )

Derivando novamente

F ' ' ( t ) = ( - c o s ( t ) , - s i n ( t ) )

Por fim, precisamos calcular   ∫ 0 2 π F ( t ) d t . Como fazemos isso? Parecido com o que fizemos na derivada. Vamos integrar cada coordenada e aplicar os limites de integração. Logo

  ∫ 0 2 π F ( t ) d t =     ( ∫ 0 2 π c o s ( t ) d t , ∫ 0 2 π s i n ( t ) d t )

= ( s i n ( t ) | t = 2 π t = 0 , - c o s ( t ) | t = 2 π t = 0 d t )

= ( 0,0 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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