1.1. Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:

d. O cilindro x 2 + y 2 = 9 e o plano x + y = 2 z .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas x 2 + y 2 = 9 e x + y = 2 z .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas x , y , z em torno de uma única variável fazendo as outras variáveis ser escritas como funções da primeira.

Deu pra sacar? 👀

Passo 2

Por exemplo, no nosso caso temos um cilindro que é intersectado pelo plano x + y = 2 z .

Ou seja, temos uma curva dada por

S = x , y , z ,     x , y , z ∈ R

Nesse caso temos uma simetria cilíndrica no nosso problema, portanto podemos aplicar a parametrização que a gente já conhece, ou seja, começando por x e y , temos

x = r cos ⁡ t y = r sin ⁡ t

E pelo que temos na equação do cilindro, r = 9 = 3 ...

x = 3 cos ⁡ t y = 3 sin ⁡ t

Substituindo na equação x + y = 2 z , podemos parametrizar z em função de t como

2 z = 3 cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t

z = 3 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t

Portanto, a parametrização da nossa curva, será dada por

S t = 3 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t ,   3 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t ,     t ∈ [ 0,2 π ]

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

S t = 3 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t ,   3 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t ,     t ∈ [ 0,2 π ]

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π