Considere a espiral r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) , t ≥ 0 , e a circunferência S de equação x 2 + y 2 = 16 .

(c) Quantas voltas completas ao redor da origem descreve a trajetória de r antes de tocar S ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada por r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) e quer saber com quantas voltas essa trajetória encontra a circunferência de equação x 2 + y 2 = 16 . Dessa forma, precisamos determinar o valor de t (o instante) onde elas se interceptam e verificar no graficamente a trajetória de r t .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo as componentes do vetor r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) em termos de x e y :

x = t π cos ⁡ t

y = t π sin ⁡ t

Agora podemos substituir os valores de x e y na equação da circunferência:

x 2 + y 2 = 16

t π cos ⁡ t 2 + t π sin ⁡ t 2 = 16

Elevando ao quadrado:

t 2 π 2 cos 2 ⁡ t + t 2 π 2 sin 2 ⁡ t = 16

Colocando t 2 π 2 em evidência:

t 2 π 2 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 16

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 , temos:

t 2 π 2 = 16

Como t ≥ 0 , isolando t temos:

t 2 = 16 π 2 → t = 16 π 2

Logo,

t = 4 π

Passo 3

Isso significa que em t = 4 π a trajetória encontra a circunferência S . Então, plotando r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) , com t variando de 0 a 4 π , temos a figura:

Como uma volta completa corresponde a 2 π , temos duas voltas completas antes da trajetória tocar a circunferência, como a gente pode ver no gráfico.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2   v o l t a s   c o m p l e t a s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π