Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

Elaboração Própria

1 – Encontre uma parametrização para os seguintes círculos com centro em C 0 e raio r :

  1. C 0 = ( 1 , - 1 ) e r = 2
  2. C 0 = ( 1 ,   3 ) e r = 3

2 – Encontre uma parametrização para as seguintes curvas:

  1. x - 2 2 + y - 1 2 = 4
  2. 2 x 2 + y 2 = 1
  3. 9 x 2 + 4 y 2 + 18 x - 16 y = 11

Passo 1

a:

Temos que

x 0 = 1   y 0 = - 1   r = 2

Substituindo nas equações paramétricas:

x t = x 0 + r cos ⁡ t = 1 + 2 cos ⁡ t

y t = y 0 + r sen ⁡ t = - 1 + 2 sen ⁡ t

⇒ σ t = ( 1 + 2 cos ⁡ t ,   - 1 + 2 sen ⁡ t )

t ∈ 0 ,   2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Item 1, (b):

Temos que

x 0 = 1   y 0 = 3   r = 3

Substituindo nas equações paramétricas:

x t = x 0 + r cos ⁡ t = 1 + 3 cos ⁡ t

y t = y 0 + r sen ⁡ t = 3 + 3 sen  ⁡ t

⇒ σ t = ( 1 + 3 cos ⁡ t ,   3 + 3 sen ⁡ t )

t ∈ 0 ,   2 π

Passo 3

Item 2, (a):

Essa é a equação de um círculo de centro ( 2 ,   1 ) e raio   r = 2 :

x - 2 2 + y - 1 2 = 4

Logo:

x ( t ) = 2 + 2 cos ⁡ t

y ( t ) = 1 + 2 sen ⁡ t

⇒ σ t = ( 2 + 2 cos ⁡ t ,   1 + 2 sen ⁡ t )

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Passo 4

Item 2, (b):

Essa é a equação de uma elipse:

2 x 2 + y 2 = 1

Colocando na forma x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 :

x 2 1 2 + y 2 = 1

Logo:

x 0 = 0 y 0 = 0 a 2 = 1 2 ⇒ a = 2 2 b 2 = 1 ⇒ b = 1

Substituindo na parametrização:

x t = x 0 + a cos ⁡ t = 0 + 2 2 cos ⁡ t = 2 2 cos ⁡ t

y t = y 0 + b sen ⁡ t = 0 + 1 sen ⁡ t = sen ⁡ t

⇒ σ t = 2 2 cos ⁡ t ,   sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Passo 5

Item 2, (c):

9 x 2 + 4 y 2 + 18 x - 16 y = 11

⇒ 9 x 2 + 18 x + 4 y 2 - 16 y = 11

Quando houver termos ao quadrado ( x 2 ) misturados com termos lineares ( x ), completamos quadrados.

O procedimento é esse:

  1. Some um termo b 2
  2. Iguale com o quadrado a 2 + 2 a b + b 2
  3. Compare termo a termo
  4. Encontre a e b
  5. Substitua e fatore: a + b 2

Vamos completar esse quadrado:

9 x 2 + 18 x

  1. Somar um termo b 2 :
  2. 9 x 2 + 18 x + b 2

  3. Igualar com o quadrado   a 2 + 2 a b + b 2 :
  4. 9 x 2 + 18 x + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

  5. Comparar termo a termo:
  6. 9 x 2 = a 2 18 x = 2 a b b 2 = b 2

  7. Encontrar a e b :
  8. Pela primeira equação, vemos que a = 3 x . Substituindo na segunda, encontramos b = 3 . Logo:

    a = 3 x b = 3

  9. Substituir e fatorar:

Agora é só substituir o termo b 2 na expressão:

9 x 2 + 18 x + b 2 = 9 x 2 + 18 x + 9

E essa expressão pode ser fatorada como a + b 2 :

Como já conhecemos a e b , basta substituir:

9 x 2 + 18 x + 9 = 3 x + 3 2

Vamos agora completar o outro quadrado:

4 y 2 - 16 y

  1. Somar um termo b 2 :
  2. 4 y 2 - 16 y + b 2

  3. Igualar com o quadrado a 2 + 2 a b + b 2 :
  4. 4 y 2 - 16 y + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

  5. Comparar termo a termo:
  6. 4 y 2 = a 2 - 16 y = 2 a b b 2 = b 2

  7. Encontrar a e b :
  8. Pela primeira equação, vemos que a = 2 y . Substituindo na segunda, encontramos b = 3 . Logo:

    a = 2 y b = - 4

  9. Substituir e fatorar:

Agora é só substituir o termo b 2 na expressão:

4 y 2 - 16 y + b 2 = 4 y 2 - 16 y + 16

E essa expressão pode ser fatorada como   a + b 2 . Como já conhecemos a e b , basta substituir:

4 y 2 - 16 y + 16 = 2 y - 4 2

Agora vamos substituir na equação original:

9 x 2 + 18 x + 4 y 2 - 16 y = 11

9 x 2 + 18 x + 9 ⏟ 3 x + 3 2 + 4 y 2 - 16 y + 16 ⏟ 2 y - 4 2 = 11 + 9 + 16

⇒ 3 x + 3 2 + 2 y - 4 2 = 36

⇒ 3 2 x + 1 2 + 2 2 y - 2 2 = 36

⇒ 9 x + 1 2 + 4 y - 2 2 = 36

Dividindo por 36 os dois lados:

⇒ 9 36 x + 1 2 + 4 36 y - 2 2 = 36 36

⇒ x + 1 2 4 + y - 2 2 9 = 1

Pronto! Chegamos à equação da elipse. Comparando com a equação x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 :

x 0 = - 1 y 0 = 2 a 2 = 4 ⇒ a = 2 b 2 = 9 ⇒ b = 3

Logo, a parametrização fica assim:

x t = x 0 + a cos ⁡ t = - 1 + 2 cos ⁡ t

y t = y 0 + b sen ⁡ t = 2 + 3 sen ⁡ t

⇒ σ t = ( - 1 + 2 cos ⁡ t ,   2 + 3 sen ⁡ t )

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Resposta

    1. σ t = ( 1 + 2 cos ⁡ t ,   - 1 + 2 sen ⁡ t )

      t ∈ 0 ,   2 π

    σ t = ( 1 + 3 cos ⁡ t ,   3 + 3 sen ⁡ t )

    t ∈ 0 ,   2 π

  1. σ t = ( 2 + 2 cos ⁡ t ,   1 + 2 sen ⁡ t )

    t ∈ [ 0 ,   2 π ]

  2. σ t = 2 2 cos ⁡ t ,   sen ⁡ t

    t ∈ [ 0 ,   2 π ]

σ t = ( - 1 + 2 cos ⁡ t ,   2 + 3 sen ⁡ t )

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

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