Uma partícula se move no plano segundo o vetor posição r t = 2 cos ⁡ 2 t i → + 3 cos ⁡ t j → .

(a) Verifique que a trajetória está sobre a parábola 4 y 2 - 9 x = 18 e desenhe a trajetória.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada por r t = 2 cos ⁡ 2 t i → + 3 cos ⁡ t j → e uma parábola de equação 4 y 2 - 9 x = 18 . Nós precisamos determinar se essa curva r está sobre a parábola.

Para isso, vamos verificar se as componentes do vetor r t satisfazem a equação da parábola. Essas componentes são:

x t = 2 cos ⁡ 2 t

y t = 3 cos ⁡ ( t )

Substituindo em 4 y 2 - 9 x = 18 , vamos verificar se a trajetória da curva está sobre a parábola.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo x = 2 cos ⁡ 2 t e y = 3 cos ⁡ ( t ) em 4 y 2 - 9 x = 18 :

4 3 cos ⁡ ( t ) 2 - 9 2 cos ⁡ 2 t = 18

Fazendo o produto dos termos:

4 9 cos 2 ⁡ t - 18 cos ⁡ 2 t = 18

36 cos 2 ⁡ t - 18 cos ⁡ 2 t = 18

Usando a fórmula do arco duplo, cos ⁡ 2 t = 2 cos 2 ⁡ ( t ) - 1 , temos:

36 cos 2 ⁡ t - 18 2 cos 2 ⁡ ( t ) - 1 = 18

36 cos 2 ⁡ t - 36 cos 2 ⁡ t + 18 = 18

Simplificando, vamos obter:

18 = 18

Portanto, nossa curva paramétrica satisfaz a equação da parábola e podemos dizer que a curva está sobre a parábola. Esse fato é verificado observando o gráfico das duas na figura abaixo:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π