1.1. Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:

c. O cone z = x 2 + y 2 e o plano z = 1 + y .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas z = x 2 + y 2 e z = 1 + y .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas x , y , z em torno de uma única variável fazendo as outras variáveis ser escritas como funções da primeira.

Deu pra sacar? 👀

Passo 2

Por exemplo, no nosso caso temos um cone que é intersectado pelo plano z = 1 + y .

Ou seja, temos uma curva dada por

S = x , y , z ,     x , y , z ∈ R

Igualando as duas equações de z , vamos obter

z = x 2 + y 2 = 1 + y

Elevando os dois lados ao quadrado pra eliminar a raiz, temos

x 2 + y 2 2 = 1 + y 2

x 2 + y 2 = 1 + 2 y + y 2

x 2 = 1 + 2 y

Isolando y , chegamos em

y = x 2 - 1 2

Substituindo y em z = 1 + y ...

z = 1 + x 2 - 1 2

z = 2 + x 2 - 1 2

z = x 2 + 1 2

Dessa forma, conseguimos escrever y e z em função de x , assim, se x = t , temos que a parametrização da nossa curva em relação a t é

S t = t , t 2 - 1 2 , t 2 + 1 2 ,     t ∈ R

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

S t = t , t 2 - 1 2 , t 2 + 1 2 ,     t ∈ R

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π