Uma força de intensidade 20   N age diretamente no sentido ascendente a partir do plano x y em um objeto de massa 4   k g . O objeto parte da origem com velocidade inicial v 0 = i → - j → . Determine a função posição do objeto e sua velocidade no instante t .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um objeto de massa m = 4   k g que tá sofrendo a ação de uma força F no sentido ascendente a partir do plano x y , ou seja, no sentido do eixo z . Assim, o vetor força é dado por:

F → = 0 ,   0 ,   20 = 20   k →

Nosso objeto tá partindo da origem, então nós temos r → 0 = 0 e a outra condição inicial v 0 = i → - j → . Nós precisamos determinar o vetor r ( t ) e o vetor velocidade v ( t ) . Lembrando que, pela segunda Lei de Newton:

F → = m a →

Onde a → é o vetor aceleração. Usando as informações da massa e da força, vamos encontrar o vetor aceleração. Integrando o vetor aceleração teremos o vetor velocidade, e integrando o vetor velocidade, temos o vetor posição. Então, vamos lá!

Passo 2

Como a força está relacionada com a aceleração, temos:

F → = m . a →

Se a força está na direção ascendente a partir do plano x y , ou seja na direção positiva de z :

( 0 ,   0 ,   20 ) = 4 . ( a x , a y , a z )

Assim a aceleração também vai ser na direção positiva do eixo z :

a → = 5 k →

Beleza! Mas, e a aceleração? Ela é a variação da velocidade em um determinado tempo!

a → = Δ v → Δ t

Se a aceleração também for calculada em um tempo bem pequenininho, podemos dizer que a aceleração é a derivada temporal da velocidade:

a → = d v → d t

Sendo assim, se multiplicarmos dos dois lados por d t teremos:

d v → = a → d t

Se integrarmos dos dois lados vamos ter uma função da velocidade em função do tempo:

∫ d v → = ∫ a → d t

v → = ( 5 t ) k → + C

A constante de integração C pode ser calculada com a condição inicial da velocidade. No instante t = 0 a velocidade é v → 0 = i → - j → . Agora é só substituir:

v → 0 = a → ∙ 0 + C = i → - j →

C = i → - j →

Assim a velocidade em função do tempo é:

v → t = i → - j → + 5 t k →

Passo 3

O problema pede a função posição em função do tempo! Daí temos que lembrar lá da física: quando temos uma função que descreve a posição em função do tempo e esse intervalo de tempo é bem pequenininho, dizemos que a velocidade é a derivada temporal da posição:

v → = d r → d t

Já que temos a função da velocidade, vamos integrar dos dois lados e obter uma expressão pra r → t :

v → t d t = d r → t

Como v → t = i → - j → + 5 t k → , temos:

d r → t = i → - j → + 5 t k → d t  

Integrando:

∫ d r → ( t ) = ∫ i → - j → + 5 t k → d t

Assim, temos o vetor posição:

r → t = t i → - t j → + 5 t 2 2 k → + C

A constante C que aparece no lado direito é a constante de integração. Como a partícula parte da origem no instante inicial r → 0 = ( 0 ,   0 ,   0 ) , vamos ter:

r → 0 = 0 i → - 0 j → + 5.0 2 2 k → + C = 0

C = 0

Assim, a equação da posição vai ser:

r → t = t i → - t j → + 5 t 2 2 k →

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

v → t = i → - j → + 5 t k →

r → t = t i → - t j → + 5 t 2 2 k → + c

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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