Considere a espiral r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) , t ≥ 0 , e a circunferência S de equação x 2 + y 2 = 16 .

(d) Desenhe a trajetória de r e a circunferência S , destacando a interseção entre elas.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada por r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) e uma circunferência de equação x 2 + y 2 = 16 . Nós precisamos plotas essas duas curvas no gráfico cartesiano.

A gente pode pensar em r como sendo o movimento de uma partícula sendo descrito em cada instante t . Então, r t é um vetor posição do ponto P t π cos ⁡ t , t π sin ⁡ t na curva, suas equações paramétricas são:

x t = t π cos ⁡ t y t = t π sin ⁡ t

Então, a gente percebe que a trajetória é descrita somente no plano x y . Em t = 0 , temos x = 0 e y = 0 , isso significa que a trajetória começa na origem e percorre a curva de movimento até encontrar a circunferência no ponto de interseção.

Dessa forma, vamos verificar onde as curvas se interceptam e desenhar a trajetória de r com a ajuda de um software, para ter mais precisão.

Vamos lá!

Passo 2

Definidas as componentes do vetor r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) em termos de x e y no passo anterior, podemos substituir os valores de x e y na equação da circunferência:

x 2 + y 2 = 16

t π cos ⁡ t 2 + t π sin ⁡ t 2 = 16

Elevando ao quadrado:

t 2 π 2 cos 2 ⁡ t + t 2 π 2 sin 2 ⁡ t = 16

Colocando t 2 π 2 em evidência:

t 2 π 2 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 16

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 , temos:

t 2 π 2 = 16

Como t ≥ 0 , isolando t temos:

t 2 = 16 π 2 → t = 16 π 2

Logo,

t = 4 π

Passo 3

Isso significa que em t = 4 π a trajetória encontra a circunferência S . No espaço tridimensional, temos um cilindro circular reto (mostrado em vermelho) e a trajetória r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) plotada com t variando de 0 a 4 π na figura:

Onde r ( t ) descreve uma trajetória em espiral no plano x y , como mostrado.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π