Seja γ : I 3 → R 3 uma parametrização de uma curva, de classe C 2 , tal que velocidade e aceleração são linearmente independentes, contida no cilindro padrão x 2 + y 2 = 1 . Prove a seguinte propriedade:

“O vetor normal associado à curva é sempre perpendicular ao eixo

do cilindro se e somente se a curva é equivalente a um movimento circular

ou helicoidal”

Passo 1

Faaala, pessoal! Uma curva contida no cilindro padrão é dada por:

γ u = ( cos ⁡ t ( u ) + φ , sin ⁡ t ( u ) + φ ,   z ( u ) )

Onde φ é uma constante e z ,   t : I → R . Os vetores tangente e normal à curva são respectivamente:

T u = γ ' γ '                               N u = T ' T '

Contudo, temos:

γ ' = ( - t ' sin ⁡ t + φ , t ' cos ⁡ t + φ ,   z ' )

Com

γ ' = t ' 2 sin 2 ⁡ t + φ + cos 2 ⁡ t + φ + z ' 2

= t ' 2 + z ' 2

Assim,

T u = - t ' t ' 2 + z ' 2     sin ⁡ t + φ , t ' t ' 2 + z ' 2         cos ⁡ t + φ , z ' t ' 2 + z ' 2

Queremos verificar as situações nas quais o vetor normal é perpendicular ao eixo do cilindro ( 0,0 , 1 ) , logo:

N ⋅ 0,0 , 1 = 0

⟺ T ' T ' ⋅ 0,0 , 1 = 0 ⇒ T z ' = 0

⟺ T z = c           c o n s t a n t e

⟺ z ' t ' 2 + z ' 2 = c

Passo 2

Se c = 0 , temos z ' = 0 e z constante. De forma que o movimento esteja restrito a um plano que intercepta o cilindro perpendicularmente. O que ocorre se, e somente se, o movimento esteja contido em um círculo (movimento circular).

Se c ≠ 0 , temos:

z ' t ' 2 + z ' 2 = c ⟺ z ' 2 = c 2 t ' 2 + z ' 2 ,           c o m z ' c = t ' 2 + z ' 2 ≥ 0

⟺ t ' 2 = 1 - c 2 c 2 z ' 2 = 1 - c 2 z ' c 2 ,   c o m   c 2 ≤ 1  

⟺ t ' = ± 1 - c 2 ⋅ z ' c

⟺ t = ± 1 - c 2 ⋅ z c + θ ,   θ ∈ R

Nesse caso, substituindo em γ , temos:

γ u = ( cos ⁡ t ( u ) + φ , sin ⁡ t ( u ) + φ ,   z ( u ) )

γ ( u ) = cos ⁡ ± 1 - c 2 ⋅ z c + θ + φ , sin ⁡ ± 1 - c 2 ⋅ z c + θ + φ ,   z

Cujo traço caracteriza o movimento helicoidal. Finalizando a demonstração.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π