Determine F ' ( t ) , F ' ' ( t )   e   ∫ 0 2 π F ( t ) d t

F ( t ) = ( 5 c o s ( t ) , 5 s i n ( t ) , 2 t )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é Determinar F ' ( t ) , F ' ' ( t )   e   ∫ 0 2 π F ( t ) d t

F ( t ) = ( 5 c o s ( t ) , 5 s i n ( t ) , 2 t )

Como fazemos isso?

Passo 2

Bem Para encontrarmos F ' ( t ) , derivamos cada coordenada da nossa curva parametrizada. E, de forma análoga, para encontrarmos F ' ' ( t ) derivamos duas vezes.

Dessa forma temos que:

F ( t ) = ( 5 c o s ( t ) , 5 s i n ( t ) , 2 t )

F ' ( t ) = ( - 5 s i n ( t ) , 5 c o s ( t ) , 2 )

Derivando novamente

F ' ' ( t ) = ( - 5 c o s ( t ) , - 5 s i n ( t ) , 0 )

Por fim, precisamos calcular   ∫ 0 2 π F ( t ) d t . Como fazemos isso? Parecido com o que fizemos na derivada. Vamos integrar cada coordenada e aplicar os limites de integração. Logo

  ∫ 0 2 π F ( t ) d t =     ( ∫ 0 2 π 5 c o s ( t ) d t , ∫ 0 2 π 5 s i n ( t ) d t ,   ∫ 0 2 π 2 t d t )

= ( 5 s i n ( t ) ) | t = 2 π t = 0 , - 5 c o s ( t ) | t = 2 π t = 0 , t 2 | t = 2 �� t = 0 )

= ( 0   , 0,4 π 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π