Determine F ' ( t ) , F ' ' ( t )   e   ∫ 0 2 π F ( t ) d t

F ( t ) = ( r ( t - s i n ( t ) ) , r ( 1 - c o s ( t ) ) )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é Determinar F ' ( t ) , F ' ' ( t )   e   ∫ 0 2 π F ( t ) d t

F ( t ) = ( r ( t - s i n ( t ) ) , r ( 1 - c o s ( t ) ) )

Como fazemos isso?

Passo 2

Bem Para encontrarmos F ' ( t ) , derivamos cada coordenada da nossa curva parametrizada. E, de forma análoga, para encontrarmos F ' ' ( t ) derivamos duas vezes.

Dessa forma temos que:

F ( t ) = ( r ( t - s i n ( t ) ) , r ( 1 - c o s ( t ) ) )

F ' ( t ) = ( r ( 1 - c o s ( t ) ) , r s i n ( t ) )

Derivando novamente

F ' ' ( t ) = ( r s i n ( t ) , r c o s ( t ) )

Por fim, precisamos calcular   ∫ 0 2 π F ( t ) d t . Como fazemos isso? Parecido com o que fizemos na derivada. Vamos integrar cada coordenada e aplicar os limites de integração. Logo

  ∫ 0 2 π F ( t ) d t =     ( ∫ 0 2 π r ( t - s i n ( t ) d t , ∫ 0 2 π r ( 1 - c o s ( t ) ) d t )

= ( r ( t 2 / 2 + c o s ( t ) ) | t = 2 π t = 0 , r ( t - s i n ( t ) ) | t = 2 π t = 0 )

= ( r 2 π 2   , r 2 π )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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