Considere a espiral r ( t ) = t π ( c o s ( t ) , s e n ( t ) ) ,   t ≥ 0 , e a circunferência S de equação x 2 + y 2 = 16 .

b ) Determine o ângulo de interseção entre a trajetória de r e a circunferência S .

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte espiral

r ( t ) = t π ( c o s ( t ) , s e n ( t ) ) ,   t ≥ 0

e, a circunferência S

x 2 + y 2 = 16 .

Temos que determinar o ângulo de interseção entre a trajetória r e a circunferência S . O ângulo poderá ser obtido se obtermos uma parametrização da reta tangente a trajetória no ponto da interseção, temos que a equação da reta é da forma

X ( s ) = P + r ' ( P )   s

Na última alternativa obtemos a interseção no instante

t = 4 π

e, no ponto

P = ( 4,0 )

Vamos calcular a reta tangente agora! Vem comigo!

Passo 2

Temos que

r ' ( t ) = d d t [ r ( t ) ]

e, calculando a derivada em todos os termos da parametrização, temos que

r ' ( t ) = 1 π [ c o s ( t ) - t   s e n ( t ) , s e n ( t ) + t   c o s ( t ) ]

em que usei a regra do produto e as derivadas conhecidas do seno e cosseno. No instante da interseção, temos que

r ' ( t ) = 1 π ( 1,4 π )

e, a parametrização da reta tangente é

X ( s ) = ( 4,0 ) + 1 π ( 1,4 π ) s = ( 4 + s π , 4 s )

Vamos agora encontrar o ângulo dessa reta com o plano- x y , pois é o plano da circunferência S .

Passo 3

O ângulo entre a reta e um plano pode ser obtido calculando o ângulo entre o vetor diretor da reta e um vetor do plano. O vetor diretor da reta é dado por

v → = ( 1 π , 4 )

um vetor pertencente ao plano- x y pode ser qualquer vetor com a coordenada z = 0 , escolhendo uma que seja simples, temos que

v → p l a n o = ( 1,0 )

E, portanto, podemos obter o ângulo como

v → ⋅ v → p l a n o = | | v → | | | | v → p l a n o | | c o s ( θ )

do lado esquerdo temos um produto escalar, e do lado direito as normas dos vetores! Vamos abrir essas contas!

Passo 4

Usando a definição de produto escalar, temos que

v → ⋅ v → p l a n o = ( 1 π , 4 ) ⋅ ( 1,0 ) = 1 π

e, calculando as normas de ambos os vetores, temos que

| | v → | | = ( 1 π ) 2 + 0 2 = 1 π

e, também temos que

| | v → p l a n o | | = 1 2 + 0 2 = 1

Portanto, temos que o ângulo é tal que

1 π = 1 π   c o s ( θ )

ou simplesmente

c o s ( θ ) = 1

Aplicando a inversa a r c c o s ( . . . ) em ambos os lados, temos que

θ = 0 °

A questão pedia isso! Bora para a próxima! Tchau Tchau!

Resposta

θ = 0 °

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π