Obtenha uma curva r : R → R 3 tal que r 0 = 2,3 , 1 e r ' t = t 2 , t , e t .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar uma curva r tal que essa curva no ponto zero é dada por:

r 0 = 2,3 , 1

E, a derivada dessa curva r é dada por:

r ' t = t 2 , t , e t

Bom... uma forma de obtermos essa curva é integrando a função r ' ( t ) em relação a t , termo a termo... porque a integral de uma derivada é a própria função!!

E aí?? Bora lá??

Passo 2

Bom... a primeira componente da curva r t é obtida a partir da integral da primeira componente r ' t :

r 1 t = ∫ t 2 d t ∴

r 1 t = t 3 3 + c 1

Como r 0 = 2,3 , 1 , então:

r 1 0 = 0 3 3 + c 1 ∴

r 1 0 = 2

Logo, podemos dizer que c 1 = 2 .

Passo 3

Para a segunda componente da curva, de forma análoga, temos:

r 2 t = ∫ t   d t ∴

r 2 t = t 2 2 + c 2

Como r 0 = 2,3 , 1 , então:

r 2 0 = 0 2 2 + c 2 ∴

r 2 0 = 3

Logo, podemos dizer que c 2 = 3 .

Passo 4

Para a terceira componente da curva, de forma análoga, temos:

r 3 t = ∫ t   d t ∴

r 3 t = e t + c 3

Como r 0 = 2,3 , 1 , então:

r 3 0 = e 0 + c 3 ∴

r 3 0 = 1

Logo, podemos dizer que c 3 = 0 .

Passo 5

Dessa forma, a curva r ( t ) é dada por:

r ( t ) = r 1 t ,   r 2 t ,   r 3 t = t 3 3 + 2 , t 2 2 + 3 , e t

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r ( t ) = t 3 3 + 2 , t 2 2 + 3 , e t

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π