Verifique que a curva parametrizada por r t = t , 1 + t t , 1 - t 2 t , t > 0 , é plana.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada r t = t , 1 + t t , 1 - t 2 t e quer que a gente verifique se essa curva é plana. Mas o que é uma curva plana?

Uma curva plana é um conjunto C de pares ordenados ( f t ,   g t ) em que f e g são funções contínuas em um intervalo I . Ou, de maneira mais geral, uma plana é aquela que se situa em um só plano euclidiano e que pode ser aberta (reta, parábola, hipérbole) ou fechada (círculo, elipse), entre outras.

Tá, então o que a gente pode fazer pra verificar se essa curva r t representa um plano? A gente pode tentar escrever ela como a equação do plano A x + B y + C z + D = 0 , onde A ,   B ,   C e D são números reais, usando as componentes do vetor r t .

Vamos lá!

Passo 2

Galera, decompondo as componentes do vetor r t = t , 1 + t t , 1 - t 2 t em coordenadas cartesianas, temos:

x t = t

y t = 1 + t t

z t = 1 - t 2 t

Então, uma maneira de escrever essas componentes na forma da equação do plano seria:

x - y + z = t - 1 + t t + 1 - t 2 t

Tirando o M.M.C do lado direito da equação:

x - y + z = t 2 - 1 + t + 1 - t 2 t

Logo,

x - y + z = 1

Ou

x - y + z - 1 = 0

Assim, como os pontos ( x ,   y ,   z ) estão no plano x - y + z - 1 = 0 para todos o valores de t , podemos dizer que a curva parametrizada é plana.

Passo 3

Uma maneira mais rigorosa, matematicamente, de resolver essa questão, seria calculando a torsão da curva. A torsão é uma propriedade de curvas no espaço tridimensional que mede o quanto uma curva se projeta para fora do plano de curvatura. Ela é calculada por meio da equação:

τ = det ⁡ r ' ,   r ' ' ,   r ' ' ' r ' × r ' ' 2

Se τ = 0 , significa que a curva é plana. Para o nosso caso, calculando det ⁡ r ' ,   r ' ' ,   r ' ' ' , teríamos:

det ⁡ r ' ,   r ' ' ,   r ' ' ' = 1 - 1 t 2 - t 2 - 1 t 2 0 2 t 3 2 t 3 0 - 6 t 4 - 6 t 4

Onde r ' = 1 ,   - 1 t 2 ,   - t 2 - 1 t 2 , r ' ' = 0 , 2 t 3 , 2 t 3 e r ' ' ' = 0 ,   - 6 t 4 ,   - 6 t 4 são as derivadas do vetor r t = t , 1 + t t , 1 - t 2 t . Calculando o determinante, temos:

det ⁡ r ' ,   r ' ' ,   r ' ' ' = 0

Dessa forma, não importa muito valor do produto vetorial no denominador, r ' × r ' ' 2 , porque teríamos:

τ = det ⁡ r ' ,   r ' ' ,   r ' ' ' r ' × r ' ' 2 = 0 r ' × r ' ' 2 = 0

De qualquer forma, se você quiser testar, o valor do produto escalar é 2 t 3 ,   - 2 t 3 , 2 t 3 . Como a torsão τ = 0 , a curva parametrizada é plana. Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π