Dê uma parametrização para a curva

A parábola com vértice ( − 2 ,   − 1 ) , foco ( − 5 ,   − 1 ) e diretriz   x   =   1 .

(Dica: Uma par��bola com foco F e reta diretriz r , é constituída de todos os pontos

( x ,   y ) cuja distância a F e a r são iguais. A distância de um ponto ( x ,   y ) à r é

a distância de ( x ,   y ) ao ponto em r mais perto de ( x ,   y ) . Deduza do Teorema de

Pitágoras, que ponto é este.)

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para a parábola com vértice ( − 2 ,   − 1 ) , foco ( − 5 ,   − 1 ) e diretriz   x   =   1 .

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para a parábola com vértice ( − 2 ,   − 1 ) , foco ( − 5 ,   − 1 ) e diretriz   x   =   1 .

Bem, pela definição de foco e diretriz temos que a nossa parábola pode ser dada pelo seguinte desenho:

Vamos calcular a coordenada de um ponto ( x , y ) qualquer. Pela definição, temos que esse ponto é equidistante ao foco e a reta diretriz. Logo, se r é a distância até o foco e d a distância até a diretriz, temos que:

d 2 = ( x - 1 ) 2

Enquanto temos que

r 2 = ( x + 5 ) 2 + ( y + 1 ) 2

Passo 3

Como essas distâncias são iguais

( x + 5 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = ( x - 1 ) 2

⇒ 12 x + 24 = - ( y + 1 ) 2

⇒ x + 2 = - ( y + 1 ) 2 / 12

Logo, uma parametrização é y = t   e   x = - ( t + 1 ) 2 / 12 - 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π